Bevorzugte nicht-konstruktive Beweise.

Ich habe schon immer gemocht:

Behauptung: Es gibt irrationale Zahlen$\alpha,\beta$, möglicherweise gleich, so dass$\alpha^{\beta}$ist vernünftig.

Pf: Bedenke$\sqrt 2 ^{\sqrt 2}$. Wenn es rational ist, dann sind wir fertig. Wenn es irrational ist, dann nenne es$\alpha$und bedenke$\alpha^{\sqrt 2}=2$. Und wir sind fertig.

Strategy Stealing ist ein weiteres klassisches Beispiel, das auf eine Reihe von rundenbasierten Spielen zutrifft. Es zeigt, dass entweder immer der erste Spieler gewinnt oder dass das Spiel unentschieden endet, vorausgesetzt, dass beide Seiten perfekt spielen. Die Beweise weisen die fraglichen Strategien nie wirklich auf.

Nehmen Sie zum Beispiel Tic Tac Toe (auf einem beliebig großen Brett der Größe$n\times n$). Angenommen, Spieler 2 hat eine Gewinnstrategie$S$, unabhängig vom ersten Zug von Spieler 1. Dann machen wir eine Reihe von Beobachtungen:

1) Unabhängig davon, wo Spieler 1 zuerst spielt$X$hat Spieler 2 vermutlich eine Gewinnstrategie, die von der Position des ersten abhängt$X$.

2) Es ist nie ein Nachteil, eine Ihrer Figuren bereits auf dem Brett zu haben, dh wenn Spieler 1 bereits eine hat$X$auf einem gegebenen Feld, dann kann das nicht schlimmer sein, als kein zu haben$X$auf diesem Platz.

3) Zu 1) kann Spieler 1 die Strategie von Spieler 2 übernehmen, indem er zufällig ein setzt$X$, und dann, nachdem Spieler 2 mit seiner Strategie geantwortet hat$S$, trifft Spieler 1 zu$S$auf die Antwort von Spieler 2, mit$X$Und$O$geschaltet. Wenn$S$jemals anruft, um auf dem ersten zu spielen$X$die Spieler 1 platzieren musste, dann kann Spieler 1 einen zufälligen Zug um 2 machen).

Spieler 2 kann also unmöglich eine Gewinnstrategie haben$S$, was bedeutet, dass entweder Spieler 1 immer gewinnt oder das Spiel immer unentschieden endet.

Schreien Sie nach Brouwers Fixpunkttheorem, und sei es nur, weil Brouwers anderer Hauptanspruch auf Ruhm darin besteht, ein so strenger Konstruktivist zu sein.