Reale Anwendungen der Topologie

Siehe „Topologische Isolatoren“, eine Erfindung, die die Elektronik in eine neue Phase führt.

https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator

Robert Ghrist verwendet algebraische Topologie, um Sensornetzwerke und Robotik zu verbessern.

Twisted K-Theory wird verwendet, um D-Branes in der Stringtheorie zu klassifizieren.

Aus Wikipatents:

http://www.wikipatents.com/US-Patent-3991631/woven-endless-belt-of-a-spliceless-and-mobius-strip-construction LINK DEAD

patents.com-Link

Erstens, wo immer Sie eine Struktur mit einem gewissen Kontinuitätsbegriff haben, haben Sie normalerweise eine Topologie, die im Hintergrund lauert. Sie wollen nicht immer wieder dieselben Sätze in metrischen Räumen, Differentialmannigfaltigkeiten, normierten Vektorräumen beweisen. Zu viele Mengen in jedem Zweig der Mathematik haben „automatisch“ eine Topologie, um die Topologie zu ignorieren.

Zweitens ist Kontinuität ein greifbarer Begriff, wenn es irgendein mathematischer Begriff ist. Was könnte für das wirkliche Leben wichtiger sein als Kurven und andere Karten, die tatsächlich kontinuierlich sind? In den meisten konkreten Situationen ist Kontinuität das erste Kriterium dafür, dass eine Funktion vernünftig ist. Betrachten Sie zum Beispiel Konfigurationsräume: Angenommen, Sie haben ein Pendel (1), an dessen Ende ein weiteres Pendel (2) an (1) angehängt ist. Das erste Pendel überstreicht einen Kreis, und wenn jeder Punkt auf diesem Kreis gegeben ist, überstreicht Pendel (2) unabhängig einen weiteren Kreis. Der Raum der Konfigurationen ist daher$\mathbb{T} \times \mathbb{T}$, das Produkt zweier Kreise, das einen topologischen Raum bildet, der wie ein Torus aussieht. Nun, noch bevor Differentialgleichungen usw. aufgestellt werden, ist es sofort offensichtlich, dass die Bahn des Pendelsystems kontinuierlich sein sollte. Überraschenderweise können Sie oft viel nur mit der Topologie beweisen, noch bevor Sie anfangen, Mannigfaltigkeiten und andere Strukturen (wie Differenzierbarkeit usw.) zu verwenden.

Obwohl die ersten beiden unten aufgeführten Apps eigentlich nur tangential "Topologie" und mehr Dynamik sind (unter anderem definitiv auch mit Wahrscheinlichkeit, Geometrie, Maßtheorie überschneiden), aber schlagen Sie Folgendes nach, wenn Sie möchten:

(1) Collage-Theorem, Fraktalkomprimierung – melden Sie sich bei World of Warcraft an und sehen Sie sich die Bäume und Berge an, wenn Sie Beispiele für Fraktale sehen möchten.

(2) Fraktalantennen gegenüber herkömmlichen Antennen.

(3) Persistente Homologie (eine Verfeinerung der Morse-Theorie in der Topologie) hat sich als sehr brauchbar beim Auffinden von Mustern in großdimensionalen Daten erwiesen. Denken Sie daran, wenn Sie nur zwei Variablen und Messungen mit Fehlern haben, ist es ziemlich oft nützlich, die beste eindimensionale Mannigfaltigkeit (Hehe-Kurve) eines bestimmten Typs zu finden, die zu den Daten passt. Nun, wenn Sie 10000 Variablen und eine Menge Daten haben, stellen Sie sich vor, Sie verstehen die grundlegende "Form" einer am besten passenden Mannigfaltigkeit ("schöne Form") für die Daten, und das ist sehr, sehr grob, worum es hier geht. Wie Sie sich vorstellen können, könnte die Lösung Geometrie und Topologie beinhalten ... :)

(4) Wie oben schon schön erwähnt, Bewegungsplanungsprobleme – gegeben einem Roboter, wie man ihn effizient von Punkt A nach Punkt B bewegt, ohne alles umzuwerfen und/oder auf die Nase zu fallen – denken Sie daran, wie viel Koordination Ihre Arme und Beine haben müssen zum Beispiel einen Balletttanz tanzen müssen und sich überlegen, wie man einen Roboter dafür programmieren würde - man kommt schnell zu dem Schluss, dass Geometrie und Topologie etwas damit zu tun haben!

(5) Das geometrische Verständnis der Raumzeit, das Einsteins allgemeine Relativitätstheorie bietet, wird sogar angewendet, da die Genauigkeit von GPS nicht optimal war, bevor die Uhren in GPS-Satelliten für diese Effekte korrigiert wurden.

(6) Normalerweise bedeutet die Frage nach „realen Anwendungen“ nur, dass das diskutierte bisschen Mathematik nicht zu dem mathematischen Stapel gehört, den der Fragesteller täglich verwendet. Ich glaube nicht, dass ich im Laufe der Zeit gesehen habe, dass etwas lange "nutzlos" geblieben ist - die Zahlentheorie blieb 2000 Jahre lang "nutzlos", bis Computer und Sicherheit und die Forderung nach schnellen Algorithmusgeschwindigkeiten sie plötzlich sehr nützlich machten! Wie jemand einmal sagte, als er über die Mathematik hinter Spezialeffekten und der Spiele-/Filmindustrie sprach – vor etwa 10 Jahren verzichtete die Mathematik auf die „reale Welt“. Ich bin mir nicht mehr sicher, was "Anwendung in der realen Welt" wirklich bedeutet ...

(7) Ich bin mir nicht sicher, ob dies der realen Welt entspricht, aber Politikwissenschaftler und Ökonomen verwenden oft die Morse-Theorie, um die Stabilität der Spieltheorie und Marktgleichgewichte zu diskutieren. Sie verwenden seit langem die Fixpunkttheorie aus der Topologie wie den Fixpunktsatz von Brouwer und den Fixpunktsatz von Kakutani, und in den letzten 10 Jahren sind die Morsetheorie und verfeinerte Teile der Topologie in diesen Bereichen ins Spiel gekommen.

(8) Schwellenwertkomplexe aus der Topologie wurden verwendet, um eine Vermutung der Informatik über die Komplexität bestimmter Algorithmen zu widerlegen. Die Komplexität von Algorithmen wurde unter Verwendung topologischer Techniken einschließlich des Borsuk-Ulam-Theorems untersucht.

Die Topologie hilft beim Verständnis der molekularen Strukturen. Siehe dieses Buch When Topology Meets Chemistry: A Topological Look at Molecular Chirality, geschrieben von Erica Flapan. Ich habe ein paar Kapitel des Buches überflogen und fand es sehr interessant.

Führen Sie eine Websuche nach „Knoten und DNA“ durch. Sehen Sie insbesondere hier nach .

In den 1970er Jahren gab ich es auf, Studenten über Homologie zu unterrichten, zugunsten der Knotentheorie, weil: es mehr Spaß machte; es hing mit einer netten Gruppentheorie zusammen; Die Schüler konnten unmittelbare Probleme erkennen, wie zum Beispiel, woher sie wirklich wissen, dass der Kleeblattknoten geknüpft ist; viele nette Berechnungen zu machen; Knoten haben eine wunderbare Geschichte, da sie möglicherweise die älteste Form angewandter Geometrie/Topologie sind; und es führte mich dazu, populäre Vorträge über das Thema zu halten, was zu allen möglichen Dingen führte.

Ein weiterer Bereich, der nicht so viel gelehrt wird, ist die Hausdorff-Metrik . Ich habe das in einem Analysekurs im zweiten Jahr gegeben und es macht mehr Spaß als einheitliche Konvergenz. Ich habe einen Vollständigkeitssatz zitiert; Es gibt viele nette Anwendungen für Fraktale , die mit einem Bereich des öffentlichen Wissens verknüpft sind. Ich bat sogar um einen kurzen Aufsatz als Test über „Die Bedeutung von Fraktalen“, der alle aus Büchern oder dem Internet stammen sollte. Einige Schüler verwendeten in ihrer Antwort Fraktalprogramme.

Das ist etwas, was mir spontan einfällt:

Die Fixpunktsätze in der Topologie sind sehr nützlich. Hier ist ein Bericht darüber, wie das Problem formuliert wurde:

Ein Physiker wollte eine flache Platte betrachten, auf der ein Teil Wasser und ein anderer Teil Öl vermischt werden. Er fragte, ob es einen Punkt gibt, der sich beim Mischen nicht bewegt!

Die Antwort ist JA . Es läuft darauf hinaus, zu fragen, ob der Platz vorhanden ist$\{(x,y)|x^2+y^2 \leq r\}$die Fixpunkteigenschaft haben oder nicht. Und das hat es tatsächlich!

Tatsächlich gibt es auch einen Punkt, der sich nicht bewegt, wenn Sie ein Glas Milch umrühren. Interessant; Komisch aber wahr!!

Wie in den Kommentaren ausgeführt, muss dieser Punkt nicht immer unveränderlich sein. Es wird nur behauptet, dass es immer einen Punkt gibt, der sich zu jeder Zeit nicht bewegt$'t'$,

Und ich würde vorschlagen, dass Sie das Buch "A First Course in Topology" von MCleary lesen.

Hoffe das hilft!

Die Suche in der Zeitschrift für Topologie und ihre Anwendungen gibt einen Aufsatz mit dem Titel Inverse Limit Spaces, die sich aus Problemen in der Ökonomie ergeben

Abstrakt

In diesem Beitrag verwenden wir Werkzeuge aus der Topologie und dynamischen Systemen, um die Struktur von Lösungen zu implizit definierten Gleichungen zu analysieren, die in der Wirtschaftstheorie auftreten, insbesondere bei der Untersuchung der sogenannten „Rückwärtsdynamik“. Zu diesem Zweck verwenden wir inverse Grenzwerträume und Verschiebungshomöomorphismen, um Lösungen zu beschreiben, die dahingehend typisch sind, dass sie wahrscheinlich in der Zukunft beobachtet werden. Diese vorhergesagten Lösungen entsprechen Attraktoren in einem inversen Grenzraum unter dem/den Verschiebungshomöomorphismus(en).

Dieses Semester habe ich einen Professor , der eine Klasse namens Topology with Applications darüber unterrichtet . Ich nehme an diesem Kurs einfach teil, weil ich mich wie Sie gefragt habe, wie nützlich formales Wissen über die Unterschiede (oder deren Fehlen) zwischen Donuts und Kaffeebechern in Kontexten außerhalb des Klassenzimmers ist.

Es gibt Anwendungen der Topologie in der Biologie: Topologie in der Molekularbiologie .

Die Topologie ist zumindest teilweise in die menschliche Intuition eingebaut, weil sie über Invarianten spricht – allgemeine Eigenschaften und Klassifikation unabhängig von feinen Details – genau das, was Menschen am besten können!

Es gibt viele Beispiele aus dem wirklichen Leben, zum Beispiel stößt man jedes Mal auf das Hairy-Ball-Theorem, wenn man sich fragt, warum wir keine Erdkarte haben können, ohne zwei Pole mit undefinierten Breitengraden zu haben. Oder wenn Sie versuchen, Ihr Haar zu kämmen. Menschen, die Kleidung herstellen, wissen sehr gut, dass je mehr Löcher Sie benötigen (Ärmel usw.), desto mehr zusätzliche Nähte müssen Sie nach dem Zuschneiden des Hauptstoffs benötigen. Die minimale Anzahl an Nähten ist im Grunde die erste Betti-Zahl. Die Herstellung einer Hose unterscheidet sich grundlegend von der Herstellung eines Pullovers, da die Anzahl der Löcher unterschiedlich ist. Origami (oder das Verpacken von Geschenken) fällt in die gleiche Kategorie.

Knoten sind im Alltag sehr wichtig, auch wenn man kein Bergsteiger ist. Du erkennst unterbewusst, dass es wichtig ist, ob etwas ein Knoten ist oder nicht. Wenn Sie Ihre Schnürsenkel richtig binden, haben Sie keinen echten Knoten gemacht, also können Sie an einem Strang ziehen und er löst sich. Wenn Sie es jedoch vermasseln, haben Sie einen Knoten gemacht (und ein paar Minuten verloren, um ihn zu lösen). Dasselbe gilt für Kopfhörer. Auch wenn es vielleicht nicht unbedingt wichtig ist zu wissen, wie man Knoten klassifiziert und wie man all die komplizierten Invarianten der Knotentheorie definiert, versteht man doch auf einer grundlegenden Ebene das Konzept, dass etwas äquivalent und einfach anders angeordnet ist, verglichen mit etwas, das grundlegend ist anders. In dem einen Fall ist nur ein ständiges Umlegen des Seils das dich vor einem Sturz in den Tod bewahrt, im anderen Fall ist das Schneiden die einzige Möglichkeit.

Ein weiteres Beispiel ist das Einfärben von Karten: Auch wenn Sie keine Karten erstellen, haben Sie als Kind wahrscheinlich versucht, etwas einzufärben, damit benachbarte Felder nicht dieselbe Farbe haben. Sie haben wahrscheinlich sogar bemerkt, dass, wenn Sie mit einem einzigen Strich einen geschlossenen Schnörkel machen, ein abwechselndes Muster aus zwei Farben ausreicht. Aber trotzdem brauchten Mathematiker ziemlich lange (und einen Computer), um endlich zu beweisen, dass man höchstens 4 Farben braucht. Das ist nichts anderes als Topologie.

Natürlich gibt es einen schmalen Grat zwischen Topologie (zumindest "praktische" Topologie in 2D und 3D) und Geometrie, also gibt es eine ganze Welt alltäglicher Probleme, in der Sie zumindest einen Hauch von beidem haben.

In der Materialwissenschaft sind die Beispiele: magnetische Skyrmionen und verwandte Solitonen, die dazu beitragen, mehr Daten auf eine Festplatte zu bringen; Flüssigkristalle haben Defekte, die ziemlich komplexen topologischen Regeln unterliegen – ob Sie Defekte vermeiden oder kontrollieren wollen, Sie müssen die Regeln kennen; DNA-Knoten und topologische Isolatoren wurden bereits in anderen Antworten erwähnt; Die Topologie neuronaler Netze ist eine Möglichkeit, das Durcheinander von Daten zu verstehen, die Sie in der Hirnforschung erhalten. andere topologiebezogene physikalische Fragen sind weniger "anwendbar" und könnten als rein akademisch angesehen werden: Topologie der gekrümmten Raumzeit, Untersuchung von verknoteten Wirbeln in Flüssigkeiten, Helizität von Magnetfeldern ...

Es hängt davon ab, was Sie unter "Verwenden" der Topologie verstehen. Im Alltag beschäftigen Sie sich unbewusst mit einigen rudimentären topologischen Begriffen, ohne wirkliche Mathematik zu betreiben. In den Naturwissenschaften ist die Topologie derzeit eine Art Hype: Sie hat einen starken Anstieg des Forschungs- und Publikationsvolumens erlebt - sie wird definitiv neue nützliche Sachen hervorbringen, aber es gibt auch viele Artikel, die nur da sind, weil es interessant ist, sie anzuschauen etwas aus topologischer Sicht.

Beide Anwendungsfälle verwenden tatsächlich eine sehr kleine Teilmenge dessen, was Mathematiker als Topologie bezeichnen. Daher ist für sie die in der Physik auf akademischer Ebene anzutreffende Topologie nicht viel besser als das Zählen von Polen auf einem Globus.

Die Topologie hat auch Anwendungen in der Informatik.

• Die gerichtete algebraische Topologie ist ein Zweig der algebraischen Topologie, der Anwendungen in der Nebenläufigkeitstheorie hat, wenn versucht wird, Deadlocks und Hunger zu vermeiden und zu lösen. Siehe zum Beispiel hier .
• Die topologische Datenanalyse ist eine Alternative zum standardmäßigen Data Mining, die es ermöglicht, auf globale und strukturelle Eigenschaften von Daten zu schließen. Wikipedia hat mehr .

Rob Ghrist's Page: Enthält viele großartige Preprints zu Sensornetzwerken, geometrischer und topologischer Robotik, angewandter computergestützter Homologie und dynamischen Systemen. Siehe insbesondere seine Vorabdrucke auf Erläuterungspapieren. Ein Großteil des Materials in Topology and its Applications on Robotics basiert auf der Arbeit von Rob Ghrist.

Kieselsteine ​​auf dem Mars sind wahrscheinlich kilometerweit ein Flussbett hinunter gereist

Die Entwicklung eines quantitativen Verständnisses von Kieselformen begann mit der Arbeit von Domokos, dessen Forschung durch die Entdeckung des Gömböc ausgelöst wurde, eines merkwürdigen dreidimensionalen Objekts mit nur zwei statischen Gleichgewichtspunkten. Eine Gömböc-Form richtet sich auf einer horizontalen Oberfläche wie ein Weeble Wobble von selbst aus, hat jedoch kein zusätzliches Bodengewicht. Die selbstausrichtende Eigenschaft ist allein das Ergebnis der Form, die durch ihre einzigartigen mechanischen Eigenschaften mit einer Genauigkeit von 0,01 Prozent bestimmt wird.

Da die Anzahl der statischen Gleichgewichtspunkte auf einem Objekt während des natürlichen Abriebs tendenziell reduziert wird, stellt der Gömböc das ultimative Ziel dieses Prozesses dar und veranschaulicht, wie allein die Form wichtige Informationen über die Naturgeschichte tragen kann. Domokos erkannte bald, dass die jüngsten Pionierarbeiten in der reinen Mathematik – der Beweis der schwer fassbaren Poincaré-Vermutung – angepasst werden könnten, um die Geometrie dreidimensionaler Strukturen und die Entwicklung dieser Formen zu beschreiben .

bezieht sich auf Universelle Eigenschaften der Partikelformentwicklung durch Geschiebezerkleinerung , Science Advances, 28. März 2018.

Der Satz von Kuratowski zur Charakterisierung planarer Graphen ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski%27s_theorem ) findet Anwendung auf Leiterplatten, bei denen bestimmte Knoten verbunden werden müssen, jedoch ohne Kantenkreuzungen.

1). Angenommen, Sie möchten eine bauen$2$-Sphäre (bis auf Homöomorphismus) mit aus Papier ausgeschnittenen konvexen Polygonen. Es ist natürlich, zwei Polygone nur entlang ihrer Kanten kleben zu wollen, und die Kanten sollten paarweise geklebt werden. Wenn außerdem zwei Kanten von zwei Polygonen geklebt werden sollen, sollten sie die gleiche Länge haben, damit wir sie überlappen können. Zu wissen, dass die Euler-Charakteristik der$2$-Sphäre ist$2$sagt Ihnen, dass wenn$f$ist die Anzahl der Polygone, und$e$die Gesamtzahl der Kanten in allen Polygonen ist, und$v$die Anzahl der Scheitelpunkte im letzten Stück ist, dann haben wir$f-e/2+v=2$. (Beachten Sie, dass ich nicht meine$f-e+v=2$.) Das sagt etwas über die Ressourcen aus, die Sie dabei haben sollten. Tatsächlich zeigt eine Argumentation in diese Richtung, dass die Graphen$K_5$Und$K_{3, 3}$sind nicht eben.

2). Der Satz von ungeraden Zahlen. Ich bin nicht in allgemeiner Relativitätstheorie ausgebildet. Aber ich wage zu riskieren (siehe Kommentar von Keith McClary unten), dass dieses Theorem impliziert, dass wir bei der Beobachtung eines Sterns aufgrund von Gravitationslinsen mehrere Bilder davon sehen können. Der Satz besagt, dass man immer eine ungerade Anzahl von Bildern beobachten wird. Wenn Sie also ein Astronom sind, der bei einer Beobachtung eine gerade Anzahl von Bildern gefunden hat, dann liegt entweder ein Fehler im Versuchsaufbau vor oder eine Lücke in den Gesetzen der Physik, wie wir sie kennen.

Die Topologie spielt eine große Rolle in der zeitgenössischen Physik der kondensierten Materie, und viele Spitzenforscher haben daraus eine Karriere gemacht – zB Xiao-Liang Qi in Stanford.

Es gibt mehr Anwendungen der Topologie für die Physik der kondensierten Materie, als ich aufzählen kann (die oben verlinkte Seite nennt mehrere), aber ich werde zwei hervorheben:

1. Versetzungen in Kristallen . Dies ist ein Beispiel für einen „topologischen Defekt“ – einen Fehler in einem Material, der nicht durch kontinuierliche Verformung entfernt werden kann. Solche Defekte werden nach Homotopiegruppen klassifiziert.
2. Anyons und topologisches Quantencomputing. Alexei Kitaev hat ein sehr robustes Modell für einen Quantencomputer vorgeschlagen , bei dem die Stabilität des Computers (Stabilität ist die größte Herausforderung beim Bau eines praktischen Quantencomputers) durch Topologie geschützt wird (ähnlich wie die Stabilität von Versetzungen in Kristallen).

Eine gute Referenz für Topologie in der Physik ist Mermins Artikel und Kapitel 9 von Sethnas Buch .

Ich bin mir nicht sicher, ob dies eine reale Anwendung ist, aber topologische Methoden können für einen formalen Beweis verwendet werden, dass ein System realer (möglicherweise nichtlinearer) Gleichungen eine Lösung hat.

Annehmen, dass$f: K\to\mathbb{R}^n$stetig ist und Sie wollen das beweisen$f^{-1}(0)$ist nicht leer. Wenn zum Beispiel$K$ist ein$n$-Mannigfaltigkeit, dann ein Grad ungleich Null$f/|f|: \partial K\to S^{n-1}$ergibt eine Null von$f$In$K$. Für höherdimensionale Domänen wird in diesem Artikel eine Verallgemeinerung beschrieben .

Ebenso kann die viel kompliziertere Frage der Existenz einer globalen Lösung einer ODE oft durch topologische Methoden gelöst werden. Eine ODE-Lösung ist normalerweise der Fixpunkt eines geeigneten Operators (Lösung eines Anfangswertproblems ist beispielsweise ein Fixpunkt des Picard-Lindolf-Operators) und die Existenz eines Fixpunkts von$T: X\to X$Das Einwirken auf einen Banachraum kann bewiesen werden, indem gezeigt wird, dass der Leray-Schauder-Grad damit verbunden ist$T$und einige eingestellt$U\subseteq X$ist ungleich Null. Dies ist ein sehr schönes und lesenswertes Einführungsbuch zu diesem Thema.

Schauen Sie sich das Portal Applied Topology an , das aus der Forschungsgruppe von Gunnar Carlsson in Stanford hervorgegangen ist. Es werden viele Anwendungsbereiche mit Bezug zu Statistik, Data-Mining, Biologie usw. erwähnt.