Isoperimetrische Ungleichung, isodiametrische Ungleichung, Hyperebenen-Vermutung... welche Ungleichungen dieser Art sind bekannt oder vermutet?

Die Ungleichung, die ich unter dem Namen Isodiametrische Ungleichung kenne , ist

$$\frac{\text{vol}(K)}{\text{diam}(K)^d} \le \frac{\text{vol}(B)}{\text{diam}(B)^d}$$ für jeden konvexen Körper $K$In $\mathbb{R}^d$, Wo $B$bezeichnet den Einheitsball.

Beweis 1: Durch Steiner-Symmetrisierung (die das Volumen erhält, den Durchmesser verringert und auf Wunsch zur Kugel tendiert). Beweis 2: Wenn$K$hat dann höchstens 2 Durchmesser$K-K\subseteq 2B$; durch die Brunn-Minkowski-Ungleichung,$\text{vol}(K)\le\text{vol}(\frac12(K-K))$; daher$\text{diam}(K)\le\text{diam}(B)\implies \text{vol}(K)\le\text{vol}(B)$, was der gewünschten Ungleichung entspricht. Beachten Sie, dass Beweis 2 die Tatsache nicht wirklich verwendet$B$ist die euklidische Kugel: Sie beweist tatsächlich die allgemeinere analoge Aussage, wohin wir gehen$B$beliebiger ursprungssymmetrischer konvexer Körper sein und Durchmesser in der Norm messen, deren Einheit Kugel ist$B$. (Beweis 2 ergibt auch, dass diese isodiametrische Ungleichung tatsächlich äquivalent zu dem Spezialfall von Brunn-Minkowski ist, der verwendet wurde.) All das Obige steht zum Beispiel in Grubers jüngstem Buch über konvexe Geometrie.

Ein weiterer Beweis für die Verallgemeinerung auf willkürliche Normen wurde von MS Mel'nikov ("Abhängigkeit von Volumen und Durchmesser von Mengen in einer$n$-dimensionaler Banach-Raum", Uspekhi Mat. Nauk 18 (4) 165–170, 1963, http://mi.mathnet.ru/eng/umn6384 ): Die entscheidende Tatsache in diesem Beweis ist, dass, wenn der Durchmesser von$K$(im Sinne von$B$) ist höchstens 2 dann der Durchmesser von$K_t$(im Sinne von$B_t$) ist auch höchstens 2, wobei$K_t$bezeichnet den Höhensatz der Ebene$t$der Projektion von$K$(als Dichte) auf eine feste Hyperebene; dies erlaubt einen Induktionsbeweis über die Dimension und nimmt den Beweis der Prékopa-Leindler-Ungleichung, einer Verallgemeinerung von Brunn-Minkowski, vorweg. (Für Prékopa-Leindler siehe Vorlesung 5 in Keith Balls An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry .)

Eine weitere Ungleichung der Art, nach der Sie gefragt haben, ist Urysohns Ungleichung :

$$\frac{\text{vol}(K)}{w(K)^d} \le \frac{\text{vol}(B)}{w(B)^d}$$ für jeden konvexen Körper $K$In $\mathbb{R}^d$, Wo $B$bezeichnet die euklidische Einheit ball und $w(\cdot)$bezeichnet die mittlere Breite. (Diesmal ist es wirklich wichtig, dass es die euklidische Kugel ist.) Seitdem $w(K)\le\text{diam}(K)$, ist dies eine Verstärkung der obigen isodiametrischen Ungleichung.

Beweis 1: Die Steiner-Symmetrisierung reduziert die mittlere Breite. In der Tat, wenn$S_u$bezeichnet die Steiner-Symmetrisierung bezüglich der Hyperebene orthogonal zu einem Einheitsvektor$u$, Und$R_u$bezeichnet dann die Reflexion in dieser Hyperebene$h_{S_u(K)}(\theta)=\frac12 h_K(\theta)+\frac12 h_K(R_u(\theta))$, Wo$h_K$bezeichnet die Unterstützungsfunktion von$K$; jetzt über integrieren$\theta\in S^{d-1}$und verwende die Jensensche Ungleichung. (Ich habe dies aus einigen unveröffentlichten Notizen von Giannopoulos.) Beweis 2: Siehe Pisiers Buch The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry (Cambridge UP, 1989, S. 6; Pisier schreibt, dass er diesen Beweis von Vitali Milman gelernt hat). Kurz gesagt, Sie verallgemeinern die Minkowski-Addition von Mengen auf die Minkowski-Integration von mengenwertigen Funktionen und erhalten ein Analogon von Brunn-Minkowski:

$$\int_\Omega \text{vol}(A_t)^{1/n} \,d\mu(t) \le \text{vol}\left(\int_\Omega A_t \,d\mu(t)\right)^{1/n}$$ Wenn $\mu$ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und alles ist geeignet messbar. Durch Symmetrie, $\int_{O(d)} TK \,d\mu(T)$ist ein Vielfaches der euklidischen Kugel (hier $O(d)$ist die orthogonale Gruppe auf $\mathbb{R}^d$, Und $\mu$ist sein Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß); Eine Berechnung zeigt, dass es tatsächlich so ist $\frac12 w(K)B$, und das obige Brunn-Minkowski-Analogon beendet den Beweis.

Wie in den Kommentaren angefordert, hier eine Verallgemeinerung auf andere intrinsische Bände :

$$1\le i\le j\le d\implies \frac{V_i(B)^{1/i}}{V_j(B)^{1/j}} \le \frac{V_i(K)^{1/i}}{V_j(K)^{1/j}}$$ (Der Fall $i=1$, $j=d$ist Urysohns Ungleichung.) Beweis: Ein Spezialfall der Alexandrov-Fenchel-Ungleichung ist $$W_i(K)^2 \ge W_{i-1}(K) W_{i+1}(K) \tag{$\ast$}$$ Wo $W_i(\cdot)$bezeichnet Quermassenintegrale: $$W_i(K) = V(\underbrace{K,\dotsc,K}_{d-i},\underbrace{B,\dotsc,B}_i) = \frac{\kappa_i}{\binom di} V_{d-i}(K)$$ Wo $\kappa_i$ist das Volumen der $i$-dimensionale Einheit Euklidische Kugel. Es folgt dem $$i\mapsto\left(\frac{W_d(K)}{W_{d-i}(K)}\right)^{1/i} \tag{$\dagger$}$$ ist eine wachsende Funktion für $1\le i\le d$. (Sie können das einfach beweisen $i$-vs- $(i+1)$Fall durch Induktion auf $i$, aber was hier wirklich los ist, ist das $i\mapsto\log W_i(K)$ist "konkav" - Anführungszeichen erschrecken, weil seine Domäne diskret ist. Die Ungleichheit ( $\ast$) ist die lokale Version davon, analog zu der Aussage, dass die zweite Ableitung nicht positiv ist; Das ( $\dagger$) ansteigend bedeutet, dass die Steigungen vorbei sind $[d-i,d]$steigen mit $i$.) Aber $W_d(K) = \text{vol}(B) = W_{d-i}(B)$, also ergibt eine kleine Umordnung die gewünschte Ungleichung.

(Leider bin ich mit der Literatur um Alexandrov-Fenchel nicht vertraut, daher kann ich hier keine guten Referenzen geben.)

Vielleicht möchten Sie auch Dinge wie die umgekehrte isoperimetrische Ungleichung in Betracht ziehen , die behauptet, dass (1) jeder zentralsymmetrische konvexe Körper$K$hat ein affines Image$K'$so dass

$$\frac{V_d(K')^{1/d}}{V_{d-1}(K')^{1/(d-1)}} \ge \frac{V_d(B_\infty^d)^{1/d}}{V_{d-1}(B_\infty^d)^{1/(d-1)}}$$ Wo $B_\infty^d$ist der Würfel $[-1,1]^d$(dh der Einheitsball der $\ell_\infty^d$Norm), und dass (2) jeder konvexe Körper $K$hat ein affines Image $K'$so dass $$\frac{V_d(K')^{1/d}}{V_{d-1}(K')^{1/(d-1)}} \ge \frac{V_d(\Delta)^{1/d}}{V_{d-1}(\Delta)^{1/(d-1)}}$$ Diese Ungleichungen sind auf Keith Ball zurückzuführen (siehe Vorlesung 6 seines oben erwähnten Buches für den Beweis und die Referenzen), der sich auf Johns Theorem und eine normalisierte Version der Brascamp-Lieb-Ungleichung stützt. Für einen Beweis von Brascamp-Lieb in der benötigten Form (und vieles mehr, einschließlich Gleichheitsfällen in den obigen umgekehrten isoperimetrischen Ungleichungen) siehe F. Barthe, "On a reverse form of the Brascamp-Lieb inequality", arxiv:math / 9705210 . (Eine vereinfachte Version für den benötigten eindimensionalen Spezialfall erscheint in K. Ball, "Convex Geometry and Functional Analysis", in Band 1 des Handbook of the Geometry of Banach Spaces , Johnson und Lindenstrauss (Hrsg.), Nord-Holland, 2001.)

Ich denke, meine Frage ist schon sehr lang, also füge ich hier die anderen Ungleichungen hinzu, die ich herausfinde.

• Bei der fraglichen Beziehung zwischen mittlerer Breite und Durchmesser wird darauf hingewiesen, dass dies für jeden konvexen Körper der Fall ist$K$In$\mathbb{R}^d$mit positivem Durchmesser haben wir

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi d}} \simeq\frac{\textrm{Mean-width}(L)}{\textrm{Diameter}(L)} \leq \frac{\textrm{Mean-width}(K)}{\textrm{Diameter}(K)} \leq \frac{\textrm{Mean-width}(\textrm{Ball})}{\textrm{Diameter}(\textrm{Ball})} =1$$

Wo$L$ist ein beliebiges Liniensegment. Die untere Grenze ist klar, wenn Sie auswählen$L$ein Segment zu sein, das den Durchmesser von realisiert$K$. Die Obergrenze folgt aus der Beobachtung, dass der Durchmesser gleich der maximalen Breite ist.

• Lassen$\Sigma$ein Größenfunktional des Grades sein$k$, für jeden konvexen Körper$K$mit Außenradius positiv haben wir

$$\frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\textrm{Out-radius}(K)} \leq \frac{\Sigma(\textrm{Ball})^{1/k}}{\textrm{Out-radius}(\textrm{Ball})} =\Sigma(\textrm{Unit-Ball})^{1/k}$$

Wo$\textrm{Ball}$ist jeder Ball und$\textrm{Unit-Ball}$jede Kugel mit Radius$1$. Dies ist leicht zu sehen, wenn wir die kleinste enthaltende Kugel betrachten$K$, es hat den gleichen Außenradius wie$K$und sein$\Sigma$-Maßnahme ist größer, weil$\Sigma$nimmt unter Set-Inklusion zu.

• Aus wirklich ähnlichen Gründen, wenn$\Sigma$ist ein Größenfunktional des Grades$k$wir haben für jeden konvexen Körper$K$mit positivem Innenradius

$$\Sigma(\textrm{Unit-Ball})^{1/k} =\frac{\Sigma(\textrm{Ball})^{1/k}}{\textrm{In-radius}(\textrm{Ball})} \leq \frac{\Sigma(K)^{1/k}}{\textrm{In-radius}(K)}.$$

• Als eine solche Ungleichung kann die Blaschke-Santaló-Ungleichung angesehen werden, wenn wir die Menge der konvexen Körper auf die zentralsymmetrischen beschränken. Der Einfachheit halber nehmen wir auch an, dass das Symmetriezentrum der Ursprung ist. Also überlegen wir$K$ein konvexer Körper, so dass$K=-K$. Wir stellen fest$K^\circ:=\left\{ x\mid x\cdot y\leq 1 \text{ for all } y\in B \right\}$sein Polkörper. Der Mahler-Band von$K$ist das Produkt der Volumina von$K$und sein Polkörper, nämlich:$V(K) V(K^\circ)$. Dies ist unter linearem Isomorphismus unveränderlich. Die Blaschke-Santaló-Ungleichung besagt, dass die zentralsymmetrischen Formen mit maximalem Mahler-Volumen die Kugeln und Ellipsoide sind. Aber wenn wir das beachten$K\to V(K^\circ)^{-1}$ist ein Größenfunktional des Grades$d$(Wir brauchen die Umkehrung, um sie unter Mengeneinschluss steigend zu machen). Die Ungleichung kann geschrieben werden

$$\frac{V(\mathrm{K})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{K}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}} \leq \frac{V(\mathrm{Ball})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{Ball}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}$$ für alle zentralsymmetrischen konvexen Körper$K$mit positivem Volumen.

• Andererseits und mit den gleichen Annahmen wie im letzten Absatz sind die Formen mit dem kleinsten bekannten Mahler-Volumen Hyperwürfel, Kreuzpolytope und allgemeiner die Hanner-Polytope, die diese beiden Arten von Formen sowie ihre affinen Transformationen umfassen. Die Mahler-Vermutung besagt, dass das Mahler-Volumen dieser Formen das kleinste aller n-dimensionalen symmetrischen konvexen Körper ist; es bleibt ungelöst (der gesamte letzte Satz ist ein direktes Zitat aus Wikipedia). Auch diese Vermutung kann aus Sicht der Frage geschrieben werden:

$$\frac{V(\mathrm{Hypercube})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{Hypercube}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}\leq \frac{V(\mathrm{K})^{1/d}}{\left(V(\mathrm{K}^\circ)^{-1}\right)^{1/d}}.$$ für alle zentralsymmetrischen konvexen Körper$K$mit positivem Volumen.

Eine weitere Ungleichung, die der isoperimetrischen Ungleichung sehr ähnlich ist, ist die systolische Ungleichung in ihren verschiedenen Formen. Dies kann in bestimmten Fällen als Ungleichung für konvexe Körper umformuliert werden, z. B. für einen zentralsymmetrischen Körper in$R^3$.

Die früheste veröffentlichte Ungleichung dieser Art von Pus Ungleichung für eine reale projektive Ebene mit einer artbiträren Riemannschen Metrik, die dies behauptet

$$L^2\leq\frac{\pi}{2}A$$ Wo $A$ist die Gesamtfläche und $L$ist die kleinste Länge einer nicht kontrahierbaren Schleife auf der realen Projektionsebene.

Wenn die Metrik eine positive Gaußsche Krümmung hat, kann sie als antipodischer Quotient einer konvexen Oberfläche in realisiert werden$R^3$und dann$L$kann durch den geringsten Abstand von einem Punkt zu seinem Antipoden charakterisiert werden. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen und eine neuere Monographie, die sich diesem Thema widmet.