Wo finde ich die Originaldarstellung des Beweises des ∂¯∂¯\bar\partial-Poincaré-Lemmas nach Grothendieck?

In der komplexen Geometrie gibt es das a-Lemma, analog zum Poincaré-Lemma in der (reellen) Differentialgeometrie, das besagt, dass a ( P , Q ) -Form das ist ∂ ¯ -geschlossen ist lokal ∂ ¯ -genau. In dem Buch Complex Geometry von Huybrechts finden wir folgende Bemerkung:

Der [...] Satz und seine Folgerung sind als Grothendieck-Poincaré-Lemma bekannt. Der erste Beweis dafür stammt von Grothendieck und wurde 1958 von Serre im Séminaire Cartan vorgelegt.

Die Behauptung, dass dieses Lemma (zuerst) von Grothendieck bewiesen wurde, wird auch durch diese Anmerkungen in Abschnitt 5 untermauert. Jetzt würde ich gerne die ursprüngliche Präsentation des Beweises sehen, also habe ich versucht, die Quelle zu finden, auf die sich Huybrechts bezieht. Das Naheliegendste ist, die Skripte des Séminaire Cartan durchzugehen . In den Bänden, die dem Jahr 1958 entsprechen, gibt es jedoch keinen Beitrag von Serre. Tatsächlich glaube ich nicht, dass in der gesamten Sammlung etwas mit dem Grothendieck-Poincaré-Lemma zu tun hat (ich habe mich davon überzeugt, indem ich alle Beiträge von Serre übersprungen habe, die mit ein wenig Mühe zu finden sind, z. B. zu diesem Seite .

Daher würde ich gerne folgendes wissen:

  • Hat Serre diesen Beweis von Grothendieck irgendwo (anders) vorgelegt? Wo und wann?
  • Wenn nein, wo und wann wurde der Grothendieck zustehende Beweis erstmals veröffentlicht oder anderweitig veröffentlicht?
Interessant. Beachten Sie, dass einige Leute auch Dolbeault an den Namen anhängen. Ich habe gerade versucht, Dolbeaults *Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes* zu finden – es muss einfach die Aussage enthalten –, um die darin enthaltenen Referenzen zu überprüfen, aber ich kann nicht darauf zugreifen. Irgendjemand anderes?
Ich habe es gefunden, und es enthält keinerlei Referenzen. Neben der Aussage, die er Grothendieck zuschreibt, schreibt Dolbeault Cette démonstration diffère de celle de Grothendieck et m'a été communiquée par H. Cartan (Der Beweis weicht von Grothendieck ab und wurde mir von H. Cartan mitgeteilt.) Gibt es keine Erwähnung des Séminaire jedoch.
@Ben ja, mir ist bewusst, dass Dolbeault auch "in dieser Geschichte vorkommt" - das Buch über Riemann-Oberflächen von Forster nennt den eindimensionalen Fall das Dolbeault-Lemmma :) Danke, dass Sie sich diese Quelle angesehen haben!

Antworten (1)

Ein alternativer Name ist das Dolbeault-Grothendieck-Lemma. Dolbeault selbst schreibt Folgendes:

" Es wird von P. Dolbeault in der bewiesen C ω Fall durch Homotopie, wie es [sic!] das Poincare-Lemma sein kann. H. Cartan bringt den Beweis dazu C ω Fall durch eine potentialtheoretische Methode [Do 53]. Gleichzeitig wurde das Lemma von A. Grothendieck durch Induktion über die Dimension aus dem Fall bewiesen N = 1 eine Folge der nicht homogenen Cauchy-Formel, siehe [Ca 53], Exposé 18. "

[Ca 53] sind die Notizen des Séminaire Cartan 1953/54, Exposé 18 ist tatsächlich von Serre, und das Ergebnis liefert Proposition 1. Es ist wahrscheinlich, dass 1958 ein Tippfehler war. [Do 53] sind zwei kurze Notizen in Comptes Rendus:

P. Dolbeault, Sur la cohomologie des varietes analytiques complexes, CR Acad. Wissenschaft. Paris 236 (1953), 175-177.

P. Dolbeault, Sur la cohomologie des varietes,analytiques complexes, II, CR Acad. Wissenschaft. Paris 236 (1953), 2203-2205.

Gibt es eine Frage auf dieser Seite, die Sie nicht beantworten können? Ich bin beeindruckt!
@Danu Danke! Ich habe einige Fragen gestellt, die ich nicht beantworten konnte :), diese nervt mich besonders hsm.stackexchange.com/questions/247/… auch von den letzten hsm.stackexchange.com/questions/5103/… von Mikhail wusste ich nicht .
Wo finde ich die Originaldarstellung des Beweises des ∂¯∂¯\bar\partial-Poincaré-Lemmas nach Grothendieck?
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