Ein Einblick in Riemannsche Metriken, Kraftfelder und ähnliches

Betrachten Sie die Halbebene H 2 = { ( X , j ) ∈ R 2   |   j > 0 } , und nehmen wir an, es modelliert (mit ein wenig Fantasie und sehr wenig streng, was die eigentliche Sache angeht) den Untergrund der Erde, so dass jede Erdschicht j = k besteht aus härterem Material, je mehr man sich der letzten Schicht nähert j = 0 . Auf diese Weise wäre es für sie schwieriger, sich zu bewegen, je tiefer man geht, und daher wäre es teurer, den Boden zu bohren.

Ich nehme an, eine solche Situation könnte (bis zu einem gewissen Grad) durch die bekannte Darstellung der hyperbolischen Ebene modelliert werden ( H 2 , G H 2 ) , Wo

G H 2 ( X , j ) = [ 1 / j 2 0 0 1 / j 2 ]
stellt nicht die Metrik dar, die die richtige Länge induziert (für die wir die standardmäßige euklidische Metrik verwenden), sondern eher eine "Kostenlänge", so dass Geodäten die kostenminimierenden Pfade sind. Auf diese Weise könnte man, wenn man sich von einem Punkt zu einem anderen bewegen möchte, zwischen einem kürzeren, aber teureren Pfad (der Linie, die die Standardgeodäte des Flugzeugs wäre) und einem längeren, aber "billigeren" Pfad (Geodäten der Ebene) wählen hyperbolische Ebene).

Zunächst möchte ich wissen, ob Argumente wie die obige verwendet wurden, um (selbst mit einem hohen Grad an Annäherung) eine reale Situation oder ein Phänomen zu beschreiben.

Wenn ja, können Sie mir eine Referenz nennen?

Zweitens stützt sich mein Beispiel stark auf die Tatsache, dass man diese Vorstellung von der Schwierigkeit einer Bewegung hat (die genauso gut eine Leichtigkeit der Bewegung sein könnte, wenn man eine andere Metrik hat), die in gewisser Weise einer Art Reibung ähnelt.

Gibt es also mindestens ein Vektorfeld (vielleicht ein geschwindigkeitsabhängiges Kraftfeld), das dies beschreibt? So etwas wie eine Reibung, die größer wird, je weiter man sich dem Boden nähert?

Und umgekehrt, kann man bei etwas "Reibung" immer eine Geometrie finden, die die Situation modelliert?

Wenn es kein Vektorfeld gibt, was kann dann nützlich sein, um zu beschreiben, was passiert?

Das dachte ich angesichts der Levi-Civita-Verbindungen ( H 2 , G R 2 ) Und ( H 2 , G H 2 ) ( ∇ R 2 Und ∇ H 2 ) und einen Pfad C ( T ) In H 2 , was ich "Reibung" nannte, könnte sein

∇ ~ C ' ( T ) C ' ( T ) := 2 ∇ C ' ( T ) R 2 C ' ( T ) − ∇ C ' ( T ) H 2 C ' ( T ) ,
Und ∇ ~ ist eine torsionsfreie Verbindung. Ich muss jedoch noch die Angemessenheit einer solchen Verbindung finden und in welcher Weise sie mit der ursprünglichen Situation zusammenhängt. Ich würde das denken (wilde Vermutung), wenn man eine solche Metrik finden kann ∇ ~ seine Levi-Civita-Verbindung ist, dann wären die Geodäten diejenigen Wege, entlang denen es das beste "Schnäppchen" zwischen Länge und Kosten gibt.

Vergleichen Sie es vielleicht mit der klassischen Optik: Wenn Sie zulassen, dass sich der Brechungsindex im Raum gleichmäßig ändert, sind die Pfade, denen die Lichtstrahlen folgen, genau die Geodäten der zugehörigen "Kostenmetrik".
@AnthonyCarapetis Perfekt! Optik ist genau die Art von Beispiel, nach der ich gesucht habe!

Antworten (1)

Ich selbst habe erst vor kurzem begonnen, mich mit der riemannschen Geometrie zu beschäftigen, und ich hatte keine weitere Ausbildung in Physik als die in der High School (oder besser gesagt, was in dem Land, in dem ich lebe, der High School entspricht), daher ist meine Antwort möglicherweise nicht sehr anspruchsvoll.

Was ist eine Riemannsche Metrik? Es ist ein Etwas, das jedem Punkt ein inneres Produkt zuordnet, das dann eine Norm auf dem entsprechenden Tangentialraum induziert. Und was ist eine Norm? Normalerweise sagen die Leute, dass es eine Möglichkeit ist, die Länge von Vektoren zu messen. Natürlich ist das eine gute Art, darüber nachzudenken, aber was ist eine Länge? Es ist nur eine positive Zahl! Aus diesem Grund stelle ich mir ein inneres Produkt manchmal als etwas vor, das einem Vektor eine positive Zahl (und nicht speziell eine Länge) zuordnet. Und es gibt viele positive Dinge, zum Beispiel Kosten! oder die Höhe einer Kraft usw. Natürlich können Sie sich die Riemannsche Metrik so vorstellen, dass sie einer Richtung und einer Länge (hier "unsere übliche Länge/unsere intuitive euklidische Länge") unterschiedliche Kosten zuordnet. So sind zum Beispiel Geodäten lokal kostenminimierende Kurven.

Zu deiner Frage mit dem Vektorfeld; Ich glaube nicht, dass es ein solches Vektorfeld geben würde, weil Vektorfelder jedem Punkt einen Vektor zuordnen, aber hier suchen Sie nach etwas, das jedem Punkt und jeder Richtung (und "Länge") eine Zahl zuordnet (z. B. es ist wichtig ob Sie an einem bestimmten Punkt rauf oder runter gehen).

Mein Kurs in riemannscher Geometrie wurde jedoch von einem Analytiker unterrichtet und ich hatte kein Geometer zur Hand, daher weiß ich nicht, ob Experten denken, dass dies eine gute Möglichkeit ist, darüber nachzudenken.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Eigentlich halte ich es für wahrscheinlicher, dass ein solches Vektorfeld existiert, als nicht! Ich meine: Angenommen, wir würden statt der Kosten die Zeit messen, dann hast du eine Art Widerstand, wenn du irgendwohin gehst, eine Art Widerstand, der einer Kraft ähnelt! Wie Sie bereits betont haben, kann das Vektorfeld natürlich nicht global sein; Das ist zwar keine große Sache, aber wir brauchen nur ein Vektorfeld entlang eines festen Pfads.
Wie gesagt, mein Wissen in Physik ist scheiße, aber soweit ich mich erinnern kann, zeigt die Reibungskraft (heißt das auf Englisch so?!?) In die entgegengesetzte Richtung Ihrer Bewegungsrichtung. Wenn das der Fall ist und Sie nur das Vektorfeld entlang Ihrer Kurve wollen (das habe ich vorher nicht verstanden), dann wäre dieses Vektorfeld meiner Meinung nach genau das Richtige v ( T ) =" Kosten\Menge der Reibung " • " Richtung der Kraft "= kosten − C ' ( T ) “ C ' ( T ) “ = ( e . G . ) − G C ( T ) ( C ' ( T ) , C ' ( T ) ) “ C ' ( T ) “ euklidisch C ' ( T ) oder Sie könnten verwenden G ( − e 2 , C ' ) als Kosten.
Was Sie als Kosten wählen möchten, hängt natürlich von der Physik ab und/oder davon, was Sie für wichtig halten.
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