Mannigfaltigkeiten, die Lorentzsche Metriken zulassen?

Ich kenne keine andere Referenz, aber der Beweis ist nicht zu schwer, sobald Sie die richtigen Werkzeuge haben, es gibt einfach viele davon.

Lassen$\dim M = n$. Wir können die Strukturgruppe von reduzieren$TM$Zu$O(n)$indem man eine Riemannsche Metrik wählt. Wenn$TM$lässt eine unbestimmte Metrik mit Signatur zu$(p, q)$, dann die Strukturgruppe von$TM$reduziert zu$O(p, q)$, die eine unbestimmte orthogonale Gruppe ist. Jetzt$O(p)\times O(q)$ist eine maximal kompakte Untergruppe von$O(p, q)$und damit eine Deformation zurückziehen, also die Strukturgruppe von$TM$reduziert sich weiter auf$O(p)\times O(q)$. Daher gibt es Vektorbündel$E$Und$F$mit$\operatorname{rank} E = p$Und$\operatorname{rank} F = q$so dass$TM \cong E\oplus F$. Umgekehrt, wenn$TM \cong E\oplus F$mit$\operatorname{rank} E = p$Und$\operatorname{rank} F = q$, Dann$TM$lässt eine unbestimmte Metrik mit Signatur zu$(p, q)$, Zum Beispiel$g = g_E - g_F$Wo$g_E$Und$g_F$sind Riemannsche Metriken auf$E$Und$F$bzw.

Der Fall der Lorentzschen Metriken entspricht$q = 1$; manche Leute würden stattdessen sagen$p = 1$, aber es spielt keine Rolle, es ist äquivalent. Das zeigt das oben$TM$lässt eine Lorentzsche Metrik genau dann zu, wenn$TM \cong E\oplus L$Wo$\operatorname{rank}(E) = n - 1$Und$L$ist ein echtes Leitungsbündel.

Wenn$M$nicht geschlossen ist, folgt aus der Obstruktionstheorie$TM$lässt einen Nirgendwo-Null-Abschnitt zu und daher$TM \cong E\oplus\varepsilon^1$Wo$\varepsilon^1$bezeichnet das triviale reelle Leitungsbündel. Deshalb$M$lässt eine Lorentzsche Metrik zu.

Nehmen Sie jetzt an, dass$M$ist geschlossen u$TM \cong E\oplus L$. Wenn$M$orientierbar ist, dann gibt es eine doppelte Abdeckung${}^*$ $p : M' \to M$so dass$p^*L \cong \varepsilon^1$und daher$TM' \cong p^*TM \cong p^*E\oplus p^*L \cong p^*E\oplus\varepsilon^1$. Als$M'$ist orientierbar, das sehen wir$\chi(M') = 0$nach dem Satz von Poincaré-Hopf, also$\chi(M) = 0$als$\chi(M') = 2\chi(M)$. Wenn$M$ist nicht orientierbar, let$\pi : \widetilde{M} \to M$die orientierbare Doppelabdeckung sein. Dann$T\widetilde{M} \cong \pi^*TM \cong \pi^*E\oplus\pi^*L$. Wenden Sie das Argument wie zuvor mit an$L$ersetzt durch$\pi^*L$, wir sehen das$\chi(\widetilde{M}) = 0$, So$\chi(M) = 0$als$\chi(\widetilde{M}) = 2\chi(M)$.

Umgekehrt, wenn$M$ist geschlossen u$\chi(M) = 0$, Dann$M$lässt ein Null-Vektorfeld zu (siehe Korollar$39.8$von Steenrod's Topology of Fiber Bundles ) und damit$TM \cong E\oplus\varepsilon^1$. Insbesondere lässt eine geschlossene Mannigfaltigkeit genau dann eine Lorentzsche Metrik zu$\chi(M) = 0$.

${}^*$Ausdrücklich,$M' = S(L)$, das Kugelbündel von$L$in Bezug auf eine Riemannsche Metrik, und$p$ist nur die Einschränkung der Projektion$L \to M$Zu$S(L)$. Die Behauptung folgt, wenn man weiß, dass der Rückzug eines Vektorbündels durch seine eigene Projektion trivial ist und das normale Bündel des Kugelbündels in einem Vektorbündel trivial ist; siehe hier für die letztere Behauptung.