Ich folge hier nur meiner Neugier. Fühlen Sie sich frei, mich zu korrigieren und mich in eine bessere Richtung zu weisen. (Gute Referenzen und die Erklärung, was bekannt ist und was nicht, erhöhen die Wahrscheinlichkeit, dass eine Antwort akzeptiert wird, erheblich.) Wenn ich im Folgenden „Singularität“ sage, meine ich eine gravitative Singularität , keinen Ereignishorizont, der grob gekennzeichnet ist durch:
Die Penrose-Hawking-Singularitätstheoreme [die] eine Singularität mit Geodäten definieren, die nicht auf glatte Weise erweitert werden können. Der Abschluss einer solchen Geodäte wird als Singularität betrachtet.
Außerdem zu Krümmungssingularitäten:
Allgemeiner wird eine Raumzeit als singulär betrachtet, wenn sie geodätisch unvollständig ist, was bedeutet, dass es frei fallende Teilchen gibt, deren Bewegung nicht über eine endliche Zeit hinaus bestimmt werden kann, da sie nach dem Punkt des Erreichens der Singularität liegen.
Fühlen Sie sich frei, Antworten auf Krümmungssingularitäten zu spezifizieren, anstatt auf "Gravitationssingularitäten" als Ganzes.
Meine Fragen:
Gibt es eine formale Unterscheidung zwischen intrinsischer und extrinsischer Geometrie für eine gravitative Singularität? Erfordert dies Topologie statt Differentialgeometrie? Ist es per Definition unmöglich, die intrinsische Geometrie einer Singularität zu erhalten?
Warum kann uns die Metrik einer Raumzeit etwas über die äußere Geometrie einer gravitativen Singularität sagen, aber nicht über die innere Geometrie? Hängt dies mit dem Unterschied zwischen Eigenschaften zusammen, die nur von der "abstrakten Mannigfaltigkeit" abhängen, und Eigenschaften, die von einer Einbettung der Mannigfaltigkeit abhängen (siehe letzter Absatz der Antwort von Michael Weiss)?
Das Beispiel, das mich gefragt hat, ist die Kerr-Metrik, die Lösung der Einstein-Gleichungen mit Achsensymmetrie, die Masse und Spin-Drehimpuls besitzt. Es ist ein allgemeines Ergebnis in GR-Lehrbüchern, dass die gravitative Singularität eine Ringstruktur hat .
Unten auf Seite 8 dieses Papiers heißt es:
Natürlich in Bezug auf die „volle“ Geometrie, spezifiziert durch die physikalische Metrik , ist die intrinsische Geometrie der Krümmungssingularität unvermeidlich und per Definition singulär.
und auf Seite 28:
Aber wie die Aussage, dass die Singularität ein „Ring“ ist, ist dies keine Aussage über die intrinsische Geometrie – es ist stattdessen eine Aussage über den mathematisch bequemen, aber fiktiven flachen Minkowski-Raum, der bei der Analyse der Kerr-Schild-Form von so nützlich ist Kerr-Raumzeit.
Ist es also der Grund, warum die oben zitierten Autoren behaupten, dass der Ring die äußere Geometrie der Singularität zeigt, weil der Ring eine Eigenschaft der Mannigfaltigkeit ist, die von der verwendeten Einbettung abhängt? Wenn ja, zeigt dann jede Einbettung den Ring oder nur einige? Was ist in diesem Fall die Einbettung, die den Ring zeigt?
Um wieder Kerr als Beispiel zu nehmen, kann der singuläre Scheibenbereich des Rings regelmäßig gemacht werden, wodurch die gravitative Singularität auf einen kleineren Bereich reduziert wird ( nicht unbedingt ein Punkt , es ist kompliziert). Ist diese analytische Fortsetzung ein Beispiel für die Wahl einer anderen Einbettung, bei der der Scheibenbereich nicht mehr regelmäßig ist? ODER schlachte ich das total ab? Ich entschuldige mich, wenn diese Frage plump ist, aber ich stoße an die Grenzen meiner mathematischen Kenntnisse.
Ich bin mir nicht sicher, ob es eine allgemein akzeptierte Definition von Singularität gibt, und wenn es darauf ankommt, wird sie wahrscheinlich sorgfältig spezifiziert.
Im Allgemeinen ist eine gravitative Singularität jedoch ein Punkt der Raumzeit, an dem eine aus dem Krümmungstensor konstruierte skalare Größe divergiert (Sie möchten eine skalare Größe, damit Sie aufgrund einer schlechten Koordinatenwahl keine Singularitäten erhalten).
Aus mathematischer Sicht ist es oft vorzuziehen, statt mit divergierenden Größen zu arbeiten, aus der Raumzeit zu entfernen der Punkt, an dem die Abweichung auftritt. Dies führt im Allgemeinen zu einer (geodätisch) unvollständigen Mannigfaltigkeit: Es gibt Geodäten, die in endlicher Eigenzeit enden.
Unvollständigkeit scheint eine gute Möglichkeit zu sein, den Begriff der Singularität zu codieren, aber Sie möchten nicht die Fälle einschließen, in denen die Mannigfaltigkeit unvollständig ist, nur weil Sie einen Teil davon weglassen. Unerweiterbar, aber unvollständig kann zumindest einen guten Teil der Raumzeiten erfassen, die Sie als singulär betrachten möchten. Ich bin mir nicht sicher, inwieweit es gelingt, aber es scheint ein guter Ausgangspunkt zu sein.
Pedro