Kann jemand (so genau wie möglich) erklären, was damit verbunden ist, beispielsweise die Schwarzschild-Lösung für die Kruskal-Mannigfaltigkeit analytisch fortzusetzen? Ich verstehe die beiden Metriken getrennt, bin mir aber nicht sicher, wie die analytische Fortsetzung verwendet wird, da ich nicht wirklich sehen kann, wie der Prozess der Erweiterung des Bereichs einer komplexen Funktion etwas mit der Erweiterung einer Mannigfaltigkeit durch eine Koordinatenänderung zu tun hat.
Liebe dbrane, einige grundlegende Verfeinerungen der Terminologie könnten nützlich sein. Die Wörter „maximal“ und „analytisch“ sind zwei mehr oder weniger unabhängige Adjektive der „Erweiterung“. Das Wort "maximal" bedeutet, dass "es nicht weiter ausgedehnt werden kann". Andererseits bezieht sich das Wort „analytisch“ auf die standardmäßigen „analytischen Funktionen“.
Analytische Funktionen sind unendlich differenzierbare Funktionen, so dass, wenn Sie die Taylor-Entwicklung um einen beliebigen Punkt schreiben, sie gegen die exakte ursprüngliche Funktion konvergiert.
Reale vs. komplexe Variablen in der Analytik
Trotz Tims Warnung haben Sie sehr recht, dass das Wort „analytisch“ im Zusammenhang mit der Allgemeinen Relativitätstheorie mit „analytisch“ im Zusammenhang mit Funktionen komplexer Variablen verbunden ist. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir in der Allgemeinen Relativitätstheorie normalerweise nur die Raumzeitkoordinaten durch reale Werte ersetzen.
Die Definition einer analytischen Funktion einer komplexen Variablen und einer analytischen Funktion einer reellen Variablen ist jedoch völlig analog. Für komplexe Funktionen komplexer Variablen gilt immer noch, dass analytische Funktionen unendlich differenzierbar sind, sodass die Taylor-Entwicklung an jedem Punkt des "Bereichs" gegen die vollständige Funktion konvergiert.
Trotzdem sind analytische Funktionen der komplexen Variablen viel eingeschränkter als "analytische Funktionen zweier reeller Variablen", nämlich der Real- und Imaginärteil: Das liegt daran, dass die analytischen Funktionen komplexer Variablen holomorph sein müssen - unabhängig von der komplexen konjugierten Variablen. Tatsächlich sind „analytisch“ und „holomorph“ genau äquivalente Adjektive, wenn es um Funktionen komplexer Variablen geht. Die richtige Analogie besteht also zwischen holomorphen Funktionen und reellen analytischen Funktionen einer (anstelle von zwei) reellen Variablen.
Erweitern von Lösungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie
Aber kehren wir zur allgemeinen Relativitätstheorie zurück. In diesem Fall sind die Raumzeitkoordinaten reell. Eine Lösung, mit der wir beginnen - z. B. die Schwarzschild-Lösung - ist in der Regel zunächst nicht maximal erweitert: Sie hat Koordinatensingularitäten, über die man durch Lesen der Lösung nicht hinauskommt, obwohl die Geodäten im realen Raum durch diese Punkte fortgesetzt werden.
Eine Erweiterung dieser Lösung lässt sich erreichen, wenn wir die Raumzeitkoordinaten geschickt neu definieren, sodass der Raum um die Koordinatensingularität – in diesem Fall den Schwarzschild-Ereignishorizont – regelmäßig wird. Durch diesen Schritt werden wir die Koordinatensingularität los und der metrische Tensor wird sogar in dem Ort der vorherigen Koordinatensingularität (Ereignishorizont) nicht entartet.
Sobald wir dies tun, wird klar, dass der Ort des Horizonts an einem endlichen Ort in der Raumzeit erscheint, und weil die Metrik auf einer Seite glatt ist, kann der metrische Tensor als eine Sammlung analytischer Funktionen der neuen Raumzeitkoordinaten fortgesetzt werden. Diese Fortsetzung ist völlig analog zur Fortsetzung im komplexen Fall: Wir können die Taylor-Entwicklung um einen gegebenen Punkt in der Nähe der vorherigen Grenze schreiben und sie einfach so weit extrapolieren, wie wir können.
Wir können sie so weit fortsetzen, wie wir können, und wenn die Taylor-Entwicklung irgendwo abweicht, können wir versuchen, von einem anderen Punkt aus fortzufahren, um noch weiter zu kommen. Auch in den neuen Koordinaten können wir wieder auf Koordinaten-Singularitäten stoßen, wenn wir die Raumzeit erweitern. Um die Lösung weiter zu erweitern, können wir noch bessere Koordinaten wählen und so weiter.
Dieser Prozess hört schließlich auf, weil die Raumzeit entweder von asymptotischer Unendlichkeit umgeben ist – unendliches Volumen, in dem Bahnen auf eine unendliche Eigenlänge ausgedehnt werden können – oder von echten (Krümmungs-)Singularitäten, die durch keine Koordinaten erweitert werden können. Geodäten enden physisch an diesen realen Singularitäten.
Meine obige Beschreibung ist so ziemlich ein mechanisches Rezept, wie man vorgeht. In der Praxis muss man jedoch immer an jedem Punkt schlau sein, um zu wissen, welche Koordinaten gewählt werden müssen, um so weit wie möglich zu kommen, und so weiter. Er findet vielleicht auch heraus, dass es mehrere maximale Erweiterungen gibt, obwohl ich mir nicht sicher bin und jetzt keine bekannten Beispiele nennen kann.
Beispiel
Ein nützliches Beispiel sind die Kruskal-Szekeres-Koordinaten für die Schwarzschild-Lösung
die die maximale analytische Fortsetzung der Geometrie des neutralen Schwarzen Lochs sind.
Tim van Beek