Wie würde man die Schwarzschild-Metrik unter Verwendung der vollen Maschinerie der Differentialgeometrie ableiten und so wenig wie möglich den Komponentenansatz verwenden?
Etwas in dieser Richtung: Beginnen Sie mit einem Verteiler auf dem eine Metrik der Lorentz-Signatur definiert ist. Annehmen kugelsymmetrisch in dem Sinne zu sein, dass zu jedem Rotationsmatrix dort entspricht eine Zuordnung (Rotation) von , auch genannt ( : , für alle Punkte ), die die Längen aller Kurven beibehält. Mit der Lie-Ableitung finden wir ...
Wie in den Kommentaren erwähnt wurde, ist nicht ganz klar, wie Sie beabsichtigen, eine Metrik ohne die Verwendung eines Satzes von Koordinaten anzugeben. Allerdings haben einige gängige GR-Texte nicht standardmäßige Ansätze für die Schwarzchild-Metrik, die Sie vielleicht interessant finden.
Die Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler hat einen ziemlich detaillierten Seitenabschnitt (Kasten 23.3, „Rigorose Ableitung des sphärisch symmetrischen Linienelements“), der mit der Annahme einer Mannigfaltigkeit beginnt auf denen es eine Reihe von Automorphismen gibt, die die Länge von Kurven beibehalten, und zu denen Automorphismen (als Gruppe behandelt) isomorph sind . Sie zeigen dann, wie diese Annahmen zu einer natürlichen Definition der Koordinaten führen Und wobei die Metrik als diagonal angenommen werden kann. Beachten Sie, dass dies nicht spezifisch für Schwarzschild ist, sondern für jede kugelsymmetrische Situation gelten könnte (sogar dynamische eher als statische).
Walds Allgemeine Relativitätstheorie verwendet eine eingeschränkte Version des obigen Arguments (unter der Annahme von Statizität von Anfang an), um zu zeigen, wie die Koordinaten Und ergeben sich aus geometrischen Überlegungen. Er verwendet dann den orthonormalen Tetradenformalismus (anstelle der konventionelleren Koordinatenkomponentenmethode), um die Differentialgleichungen zu erhalten, denen die Metrik genügen muss.
Ryan Unger
Natanael
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