Christoffel-Symbole in Kruskal-Szekeres-Koordinaten [geschlossen]

Ich habe diese kürzlich ausgearbeitet, und es war eine ziemliche Menge an Berechnungen, um sie zu bekommen, also dachte ich, sie könnten für andere nützlich sein.

Im Folgenden lassen Sie$m=1/2$, also liegt der Horizont bei$r=1$, dh,$r$ist in Einheiten des Schwarzschild-Radius. Die Außenbereiche der maximalen Ausdehnung der Schwarzschild-Raumzeit liegen bei$r>1$, das sind die Regionen I und III. Der Innenraum ist$r<1$, Regionen II und IV.

Die Version der Kruskal-Szekeres-Koordinaten, die ich verwenden werde, sind Nullkoordinaten$(V,U)$, äquivalent zu Hawking und Ellis$(v'/\sqrt2,w'/\sqrt2)$.

Selbst wenn man mit den Kruskal-Szekeres-Koordinaten arbeitet, ist es praktisch, einige Dinge in Schwarzschild auszudrücken$r$Koordinate, die mit gefunden werden kann

$$\begin{equation} r = 1+W(-VU/e). \end{equation}$$ Hier die Funktion$W$ist der reelle Hauptzweig der Lambert-W-Funktion, und$e$ist die Basis der natürlichen Logarithmen. Es ist auch bequem zu definieren $$\begin{equation} B = \frac{4}{re^r}. \end{equation}$$

Die Metrik ist

$$\begin{equation} ds^2 = B dVdU-r^2 d\Omega^2. \end{equation}$$

Die Christoffel-Symbole sind wie folgt:

$$\begin{align} \Gamma^V_{VV} &= (r^{-1}+r^{-2})Ue^{-r} \\ \Gamma^U_{UU} &= (r^{-1}+r^{-2})Ve^{-r} \\ \Gamma^\theta_{V\theta} = \Gamma^\phi_{V\phi} &= -UB/4r \\ \Gamma^\theta_{U\theta} = \Gamma^\phi_{U\phi} &= -UB/4r \\ % \Gamma^V_{\theta\theta} &= -Vr/2 \\ \Gamma^U_{\theta\theta} &= -Ur/2 \\ \Gamma^V_{\phi\phi} &= -(Vr/2) \sin^2\theta \\ \Gamma^U_{\phi\phi} &= -(Ur/2) \sin^2\theta \\ % \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta \cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\theta\phi} &= \cot\theta \\ \end{align}$$ Ich habe diese erhalten, indem ich sie im Computeralgebrasystem Maxima berechnet und die resultierenden Ausdrücke dann von Hand bereinigt habe. Ich habe meine bereinigten Versionen numerisch mit der Rohausgabe von Maxima verglichen, um sicherzustellen, dass sie richtig waren. Sie sind in einem Open-Source-Softwareprojekt namens karl implementiert .

Die Metrik und die Christoffel-Symbole verhalten sich falsch$r=0$Singularitäten, und auch bei den Koordinatensingularitäten bei$\theta=0$Und$\pi$.

Siehe auch: Pfad des freien Falls in ein Schwarzes Loch in Kruskal-Koordinaten