Radius des Sterns, die Schwarzschild-Metrik und Schwarze Löcher

Lassen$R_{ab}(x)$sei der Ricci-Tensor an einem Punkt$x$in der Raumzeit, lassen Sie$T^{ab}(x)$sei der Spannungs-Energie-Tensor, und sei$D$bezeichnen die Anzahl der Raumzeitdimensionen (so$D=4$in der echten Welt). Dann für$D\neq 2$, impliziert die Einstein-Feldgleichung

$$\text{$R_{ab}(x)=0$ if and only if $T_{ab}(x)=0$} \tag{0}$$ an jedem Punkt$x$. Um dies abzuleiten, verwenden Sie die Einstein-Feldgleichung $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}g^{cd}R_{cd}\propto T_{ab} \tag{1}$$ zusammen mit der Tatsache, dass dieselbe Gleichung auch geschrieben werden kann $$R_{ab}\propto T_{ab}-\frac{1}{D-2}g_{ab}g^{cd}T_{cd} \tag{2}$$ Wo$g_{ab}$ist der metrische Tensor mit der üblichen Summationskonvention für wiederholte Indizes. Gleichung (2) kann aus (1) abgeleitet werden, indem beide Seiten von (1) mit kontrahiert werden$g^{ab}$, wobei das Ergebnis verwendet wird, um den Ricci-Skalar zu schreiben$g^{ab}R_{ab}$in Bezug auf die Spur$g^{ab}T_{ab}$des Spannungs-Energie-Tensors, und dann diesen Ausdruck für ersetzen$g^{ab}R_{ab}$zurück in (1). Gleichung (1) besagt, dass die Bedingung$R_{ab}=0$impliziert$T_{ab}=0$, und Gleichung (2) besagt, dass die Bedingung$T_{ab}=0$impliziert$R_{ab}=0$, wie behauptet. In Worten:

• Der Ricci-Tensor muss in Vakuumregionen, wie dem Äußeren eines idealisierten Sterns, Null sein. (Aber der Krümmungstensor$R_{abcd}$kann immer noch nicht Null sein, wo$T_{ab}=0$.)

• Innerhalb des Sterns, wo wir ein Nicht-Vakuum haben ($T_{ab}\neq 0$), muss auch der Ricci-Tensor ungleich Null sein.

1) Was ist hier der Zusammenhang zum Ricci-Tensor und warum bedeutet das, dass die Schwarzschild-Lösung dort nicht gilt?

Die Lösung, die am häufigsten einfach als Schwarzschild-Lösung bezeichnet wird , ist eine Lösung, die hat$R_{ab}=0$überall (weil$T_{ab}=0$überall) außer an der Singularität. Es beschreibt ein schwarzes Loch. Dank des Satzes von Birkhoff [1] gilt diese Lösung auch außerhalb jeder kugelsymmetrischen, nicht rotierenden Verteilung von Materie, wie etwa einem idealisierten Stern, wo$T_{ab}=0$. Es gilt jedoch nicht innerhalb des Sterns, weil$T_{ab}\neq 0$(und deshalb$R_{ab}\neq 0$) im Stern.

2) Was ist eine innere Schwarzschild-Lösung?

Eine innere Schwarzschild-Lösung ist eine Metrik, die die Einstein-Feldgleichung innerhalb eines Sterns löst und auch mit der üblichen äußeren Schwarzschild-Lösung an der Grenze zwischen den Vakuum- und Nicht-Vakuum-Regionen übereinstimmt. Das einfachste Beispiel einer inneren Schwarzschild-Lösung entspricht einer konstanten Dichte im Inneren des Sterns. Dies ist in Abschnitt 12.3 von [2] und in Abschnitt 2 von [3] beschrieben. Die Annahme konstanter Dichte ist nicht realistisch, aber mathematisch relativ einfach und gut genug, um die hier gestellten Fragen zu beantworten.

3) Warum passiert hier nichts Außergewöhnliches?

Für einen typischen Stern mit Masse$m$, ist der Radius des Sterns viel größer als der Schwarzschild-Radius$2m$. (Ändern Sie für einen Neutronenstern „viel größer“ in „ein bisschen größer“.) Nichts Besonderes passiert bei$r=2m$weil dies gut in der Region liegt, wo$T_{ab}\neq 0$. Der mit der üblichen Leerraum-Schwarzschild-Lösung verbundene Ereignishorizont ist in diesem Fall nicht relevant, da die übliche Leerraum-Schwarzschild-Lösung nur in Bereichen gültig ist, in denen$T_{ab}=0$. Für einen Stern haben wir eine andere Gesamtlösung, die nur mit der üblichen Schwarzschild-Lösung im leeren Raum außerhalb des Sterns übereinstimmt. Im Inneren ist die Metrik anders. Es hat keinen Ereignishorizont und keine Singularität.

4) Warum kümmert es uns, dass der ganze Körper drinnen sein muss$2m$?

Um einen Ereignishorizont zu erhalten , müssen wir genügend Masse haben, die in weniger als ihrem Schwarzschild-Radius konzentriert ist. Ein typischer Stern erfüllt diese Bedingung nicht; Wenn ja, dann würde es zusammenbrechen und es wäre kein Stern mehr.

Neben der Suche mit den Schlüsselwörtern „innere Schwarzschild-Lösung“ können Sie wahrscheinlich weitere Informationen finden, indem Sie nach den Schlüsselwörtern „Theorem von Buchdal“ suchen. So fand ich Referenz [3].

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Verweise:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_Theorem_(Relativität)

[2] Hobson, Efstathiou und Lasenby (2006), Allgemeine Relativitätstheorie: Eine Einführung für Physiker , Cambridge University Press

[3] Rezzolla, „An Introduction to Stellar Collapse to Black Holes“, https://www.researchgate.net/publication/239533143_An_Introduction_to_Stellar_Collapse_to_Black_Holes