Nichtdiagonale Elemente der Schwarzchild-Metrik

Question

Nichtdiagonale Elemente der Schwarzchild-Metrik

Jeannette

Die Schwarzschild-Metrik ist die allgemeinste kugelsymmetrische Vakuumlösung der Einstein-Feldgleichungen.

Ich habe mich gefragt, ob es ein einfaches Argument gibt, um zu erklären, warum die Schwarzschild-Metrik im sphärischen Koordinatensystem, dh in der Form, diagonal ist

D S^{2} = D T^{2} + \dots D θ^{2} + \dots D ϕ^{2} + \dots D R^{2} .

$ds^2 = dt^2 + \cdots d\theta^2 + \cdots d\phi^2 + \cdots dr^2.$

Dieser Wikipedia-Artikel gibt eine wirklich einfache Erklärung, die falsch erscheint.

(Wenn Sie das Umwandlungsgesetz für schreiben $g_{\mu 4}$ , es sollte verstanden werden:

G_{μ 4}^{'} (X^{'}) = \frac{\partial X^{a}}{\partial X^{' μ}} \frac{\partial X^{β}}{\partial X^{' 4}} G_{a β} (X) = - G_{μ 4} (X),

$g'_{\mu 4} (x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^4}g_{\alpha\beta}(x)= -g_{\mu 4}(x) ,$ während dir das gleichzeitig die Invarianz sagt

G_{μ 4}^{'} (X^{'}) = G_{μ 4} (X^{'}) .

$g'_{\mu 4}(x') = g_{\mu 4}(x') .$ Dies führt zu dem Schluss, dass

G_{μ 4} (X^{'}) = - G_{μ 4} (X),

$g_{\mu 4}(x') = -g_{\mu 4}(x) ,$ aber ich sehe nicht, wie ich ohne zusätzliche Annahme weiter in der Argumentation vorgehen soll.)

Andere Ableitungen gehen entweder von der Diagonalform aus oder sind wesentlich komplizierter.

Es ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ich sehe kein einfaches Argument.

Jeannette

Ich bin mit dem allgemeinen Teil des Umwandlungsgesetzes einverstanden, aber es gibt keinen Grund, das zu sagen

g_{μ, ν}

$g_{\mu,\nu}$ ist unter diesen Symmetrien invariant.

Prof. Legolasov

- Ich habe mich gefragt, ob es ein einfaches Argument gibt, um zu erklären, warum die Schwarzschild-Metrik im Kugelkoordinatensystem diagonal ist - Mir fehlt hier vielleicht etwas, aber ist die Tatsache, dass sie nur diagonal ist, nicht eine Erklärung für sich ? Und zu den sphärischen Koordinaten: Eher weil die Metrik in diesen Koordinaten diese besonders einfache Form hat, nennen wir sie sphärisch, nicht umgekehrt.

Antworten (1)

Nichtdiagonale Elemente der Schwarzchild-Metrik

Ich bin mit dem allgemeinen Teil des Umwandlungsgesetzes einverstanden, aber es gibt keinen Grund, das zu sagen $g_{\mu,\nu}$ ist unter diesen Symmetrien invariant.
- Ich habe mich gefragt, ob es ein einfaches Argument gibt, um zu erklären, warum die Schwarzschild-Metrik im Kugelkoordinatensystem diagonal ist - Mir fehlt hier vielleicht etwas, aber ist die Tatsache, dass sie nur diagonal ist, nicht eine Erklärung für sich ? Und zu den sphärischen Koordinaten: Eher weil die Metrik in diesen Koordinaten diese besonders einfache Form hat, nennen wir sie sphärisch, nicht umgekehrt.

QMechaniker · Answer 1

OP hat recht: Für eine generische pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M;g)$ , gibt es nicht unbedingt offene Koordinatennachbarschaften $U\subseteq M$ , wo die Metrik $g_{|U}$ hat eine Diagonalform. Fermi-Normalkoordinaten sorgen immer für eine Diagonalform entlang einer Geodäte $\gamma$ (aber nicht unbedingt in der umgebenden Raumzeit außerhalb der Geodäten). Die Schwarzschild-Geometrie weist jedoch Killing-Symmetrien auf , die sicherstellen, dass Diagonalmetriken in offenen Nachbarschaften existieren.

Nichtdiagonale Elemente der Schwarzchild-Metrik

Jeannette

Jeannette

Prof. Legolasov

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QMechaniker

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