Gegenbeispiel zur sphärischen Symmetriedefinition in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ein einfaches Gegenbeispiel: jede Raumzeit, die Struktur hat$\mathcal{M}_2 \times S_2$für einen 2-dimensionalen Raum$\mathcal{M}_2$mit konstantem Radius von$S_2$Fasern. Ein Beweis dafür, dass eine solche Raumzeit nicht in Form (1) gebracht werden kann, ist die Feststellung, dass Bahnen der Metrik (1) bei unterschiedlichen Werten von$r$sind notwendigerweise Kugeln mit unterschiedlichen Radien.

Eine physikalisch interessante Raumzeit mit einer solchen Struktur ist eine Bertotti-Robinson-Raumzeit, die einfach ist$AdS_2 \times S_2$:

...eine Raumzeit ist kugelsymmetrisch, wenn ihre Isometriegruppe eine zu SO(3) isomorphe Untergruppe enthält, deren Umlaufbahnen 2-Sphären sind. Einige Autoren (z. B. Carroll) erwähnen diese zweite Anforderung auf Umlaufbahnen nicht, und man könnte sich fragen, ob sie notwendig ist.

Hier sind zwei Beispiele, die zeigen, dass die Bedingung auf Umlaufbahnen nicht redundant ist:

Erstes Beispiel: Beginne mit der Minkowski-Raumzeit$ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$, lösche die durch definierte zeitähnliche Weltlinie$(x,y,z)=(0,0,0)$, und erzwingen die Äquivalenzrelation$(-x,-y,-z)\cong(x,y,z)$. Die resultierende Raumzeit ist aufgrund der gelöschten Weltlinie geodätisch unvollständig, aber die Schwarzschild-Metrik ist auch geodätisch unvollständig, daher gehe ich davon aus, dass dies akzeptabel ist. Überall sonst lässt der Quotient die Metrik wohldefiniert und lokal flach, und$SO(3)$ist immer noch eine Untergruppe der Isometriegruppe (hat immer noch raumartige Rotationssymmetrie um den Ursprung), aber die Umlaufbahnen sind keine 2-Sphären mehr; Sie sind Kopien von$\mathbb{R} P^2$stattdessen.

Zweites Beispiel: Dieser hier ist überall glatt; es werden keine Punkte ausgeschlossen. Betrachten Sie den Fall$\mathbb{R}\times S^3$mit der Standardmetrik an$S^3$, und identifizieren Antipodenpunkte von$S^3$zu bekommen$\mathbb{R} P^3$. Die Metrik ist lokal unverändert, und die Isometriegruppe umfasst$SO(3)$als Untergruppe, aber die Bahnen sind wieder Kopien von$\mathbb{R} P^2$, nicht$S^2$.

In diesen beiden Beispielen kann die Metrik immer noch wie in der OP-Gleichung (1) geschrieben werden, sodass dies in diesem Sinne keine Gegenbeispiele sind. Sie zeigen jedoch, dass die Bedingung, dass die Umlaufbahnen zwei Kugeln sind, eine unabhängige Bedingung ist, die nicht durch Haben impliziert wird$SO(3)$als Untergruppe der Isometriegruppe.

Vielleicht das$AdS_2\times S_2$Das von AVS beschriebene Beispiel kann auf die gleiche Weise modifiziert werden (Ersetzen von$S_2$von$\mathbb{R}P^2$), um ein Beispiel zu erhalten, in dem die Bahnen von$SO(3)$sind keine 2-Sphären und die Metrik kann nicht wie in (1) lokal geschrieben werden.

Ich bin hier davon ausgegangen, dass die Isometriegruppe von$\mathbb{R}P^2$ist isomorph zu$SO(3)$. Laut https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_orthogonal_group ist die Isometriegruppe von$\mathbb{R}P^{2k}$Ist$SO(2k+1)$obwohl die Isometriegruppe von$\mathbb{R}P^{2k+1}$ist nicht $SO(2k+2)$.