Berechnung des metrischen Tensors aus seinen Killing-Vektoren?

Dies kann im Allgemeinen nicht funktionieren, da es Mannigfaltigkeiten gibt, die überhaupt keine Killing-Vektoren zulassen. Es kann im Allgemeinen auch nicht funktionieren, da die Killing-Vektoren nicht eindeutig sind - wenn$K$ein Tötungsvektor ist, dann ist es das auch$\alpha K$für$\alpha\in\mathbb{R}$und wenn$K$Und$G$Tötungsvektoren sind, dann ist es so$K + \alpha G$.

Die Formel$g^{\mu\nu} = K_i^\mu K_i^\nu$ist unter solchen Basisänderungen für die Killing-Vektoren der 2-Sphäre nicht unveränderlich - wenn Sie dies wünschen$R = 2\partial_\phi$In Ihrem Beispiel funktioniert es stattdessen nicht mehr. Dies ist also ein besonderes Merkmal Ihrer spezifischen Wahl der Basis für die Algebra von Killing-Vektoren, keine allgemeine Eigenschaft von Killing-Vektoren.

Angrenzende Auffrischung

Betrachtet man die Lie-Algebra$\mathfrak{g}$als Vektorraum, dann hat die Lie-Algebra$\mathfrak{g}$eine natürliche Wirkung auf den Vektorraum$\mathfrak{g}$. Dies wird als adjungierte Darstellung bezeichnet$\mathrm{ad}_\mathfrak{g}$. Es wirkt als z$X, Y \in \mathfrak{g}$,

$$\begin{equation} \mathrm{ad}_X Y = [X, Y]. \end{equation}$$ Dies ist eine Lie-Algebra-Darstellung aufgrund der Jacobi-Identität $$\begin{equation} [X, [Y, Z]]+[Y, [Z, X]]+[Z, [X, Y]]=0 \end{equation}$$ Weil $$\begin{align} [\mathrm{ad}_X, \mathrm{ad}_Y] Z &= (\mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y ) Z \\ &= [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] \\ &= [[X, Y], Z] \\ &= \mathrm{ad}_{[X, Y]} Z \end{align}$$ nach Bedarf.

Tötungsform (erste Version)

Sie können eine bilineare Form ( die Killing-Form ) weiter definieren$\mathfrak{g}$als

$$\begin{equation} \kappa(X, Y) = \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}( \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y). \end{equation}$$ Die Spur wird über den Vektorraum geführt$\mathfrak{g}$. Beachten Sie, dass wenn$X$pendelt dann mit allen anderen Elementen in der Lie-Algebra$\kappa(X, \cdot)$ist entartet. Dies bedeutet insbesondere, dass wir diese Killing-Form nicht für abelsche Gruppen verwenden können und uns eine andere bilineare Form einfallen lassen müssen, wenn Sie eine wollen. (Eine beliebte Wahl ist$\mathrm{Tr}(XY)$.) Eigentlich können wir noch einen Schritt weiter gehen. Ein Theorem namens "Cartans Kriterium" besagt dies$\kappa$wird nicht entartet sein, solange$\mathfrak{g}$ist halb einfach. Für den Rest dieser Antwort gehen wir daher davon aus$\mathfrak{g}$ist in der Tat halb einfach.

Eine schöne Eigenschaft der Killing-Form ist, dass sie unter der adjungierten Aktion der Eingaben unveränderlich ist.

$$\begin{equation}\label{killinginv} \kappa( \mathrm{ad}_Z X, Y) + \kappa(X, \mathrm{ad}_Z Y) = 0. \end{equation}$$ Erweitern Sie dazu einen der Begriffe $$\begin{align} \kappa( \mathrm{ad}_Z X, Y) &= \kappa( [Z, X], Y) \\ &= \mathrm{Tr}_\mathfrak{g} ( \mathrm{ad}_{[Z, X]} \mathrm{ad} ) \\ &= \mathrm{Tr}_\mathfrak{g} ( \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_Y). \end{align}$$ Man kann dann die zyklische Eigenschaft der Spur verwenden, um zu sehen, dass dieser Term den anderen Term aufhebt, was das Ergebnis beweist.

Wie auch immer, lassen Sie uns tatsächlich berechnen, was diese bilineare Form in unserer Basis ist.

$$\begin{equation}\newcommand{\ff}[3]{f^{#1 #2}_{\; \; \; \: #3}} \kappa^{ab} \equiv \kappa(T^a, T^b). \end{equation}$$ Beachten Sie, dass $$\begin{align} \mathrm{ad}_{T^a} \mathrm{ad}_{T^b} T^c &= [T^a, [T^b, T^c]] \\ &= \ff{b}{c}{d}[T^a,T^d] \\ &= \ff{b}{c}{d} \ff{a}{d}{e} T^e. \end{align}$$ Wenn wir die Spur berechnen wollen, müssen wir die extrahieren$T^c$Komponente aus der obigen Linearkombination von$T^e$, und dann über alles summieren$c$. Das bedeutet, dass $$\begin{equation} \kappa^{ab} = \ff{b}{c}{d} \ff{a}{d}{c}. \end{equation}$$

Das zeigen die hier involvierten Indizes$\kappa^{ab}$kann als eine Art Metrik betrachtet werden, mit der wir erhöhen und senken können. Zum Beispiel,

$$\begin{equation} f^{abc} \equiv \kappa^{cd}\ff{a}{b}{d}. \end{equation}$$ Eine schöne Eigenschaft von$f^{abc}$ist total antisymmetrisch. Das wissen wir bereits $$\begin{equation} \ff{a}{b}{c} = -\ff{b}{a}{c} \end{equation}$$ nur aus der Antisymmetrie des Kommutators. Die Antisymmetrie unter$b \leftrightarrow c$ist durch adjungierte Invarianz der Killing-Form gegeben, die wir zuvor besprochen haben, also $$\begin{equation} 0 = \kappa(T^c, [T^a, T^b]) + \kappa([T^a, T^c], T^b) = f^{abc} + f^{acb} \end{equation}$$ wie gewünscht.

Eine letzte nette Sache, die ich über die Killing-Form sagen möchte, ist, dass Sie sie verwenden können, um den quadratischen Casimir-Operator der Lie-Algebra zu konstruieren.

$$\begin{equation} C \equiv \kappa_{ab} T^a T^b. \end{equation}$$ (Wie bei der Metrik,$\kappa_{ab}$ist als die inverse Matrix von definiert$\kappa^{ab}$.)$C$ist mit allen Lie-Algebra-Elementen (in der universellen Hüllalgebra) vertauscht, weil $$\begin{align} [C, T_c] &= \kappa_{ab} T^a [T^b, T_c] + \kappa_{ab} [T^a, T_c] T^b \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^a T^d + \kappa_{ab} f^{a}_{\; \; cd} T^d T^b \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^a T^d + \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^d T^a \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} ( T^a T^d + T^d T^a) \\ &= f_{acd} ( T^a T^d + T^d T^a) \\ &= 0. \end{align}$$ In der dritten Zeile wechseln wir$a \leftrightarrow b$für die Hälfte der Begriffe und verwendet die Symmetrie von$\kappa_{ab} = \kappa_{ba}$. Die letzte Zeile folgt aus der vollständigen Antisymmetrie von$f_{abc}$.

(Denken Sie daran, dass die vollständige Antisymmetrie von$f_{abc}$folgte daraus, dass$\kappa(X,Y)$ist unter der adjungierten Aktion AKA unveränderlich$\kappa([Z,X], Y) + \kappa(X, [Z, Y]) = 0$. Also, wenn wir irgendeine andere bilineare Form erfinden$\kappa'$was dann ähnlich invariant ist$\kappa'_{ab} T^a T^b$wird ebenfalls mit der Algebra kommutieren.)

Beziehung zur Metrik

Für Raumzeit-Vektorfelder$u^\mu, v^\mu$, die Lie-Klammer ist

$$[u, v]^\mu = u^\nu \partial_\nu v^\mu - v^\nu \partial_\nu u^\mu.$$ Es stellt sich heraus, dass die Lie-Ableitung eines Vektorfeldes in Bezug auf ein anderes genau dieser Kommutator ist. $$\mathcal{L}_u v = [u, v].$$ Wenn Sie eine Reihe von Vektoren haben, die unter der Lie-Klammer schließen, $$[K^i, K^j] = f^{ij}_{\;\; k} K^k$$ dann aus der Produktregel der Lie-Ableitung die für zwei beliebige Tensoren$A$Und$B$ $$\mathcal{L}_u (AB) = (\mathcal{L}_u A) B + A(\mathcal{L}_u B)$$ wir können das deutlich sehen, wenn wir die inverse Metrik durch definieren $$g^{\mu \nu} = \kappa_{ij} (K^i)^{(\mu} (K^j)^{\nu)}$$ dann aus dem vorherigen Abschnitt ist es nicht schwer zu zeigen $$\begin{align} \mathcal{L}_{K^k} g^{\mu \nu} = 0 \end{align}$$ weil die Metrik nur der quadratische Casimir ist. (Es gibt eine winzige Falte, nämlich die Raumzeit-Indizes, aber wenn Sie die symmetrische Summe verwenden$(\mu \nu)$wie oben, dann hebt sich das mit der Antisymmetrie von auf$f$.) Daher haben wir explizit eine Metrik konstruiert, für die all$K^i$sind Tötungsvektoren.

Beziehung zur Metrik von OP

Machen wir ein explizites Beispiel.

$$\begin{array}{l} K^1=\partial_{\phi} \\ K^2=\cos \phi\,\partial_{\theta}-\cot \theta \sin \phi\,\partial_{\phi} \\ K^3=-\sin \phi\,\partial_{\theta}-\cot \theta \cos \phi\,\partial_{\phi}. \end{array}$$ Diese erfüllen die Vertauschungsrelationen $$\begin{align} [K^i, K^j] = \epsilon^{ijk} K^k. \end{align}$$ wobei wir die Unterscheidung zwischen erhöhten und erniedrigten Indizes vorübergehend fallen lassen. Deshalb $$\begin{align} \kappa^{ab} &= \epsilon^{bcd} \epsilon^{adc} \\ \kappa^{11} &= \epsilon^{1 cd} \epsilon^{1 dc} \\ &= \epsilon^{1 2 3} \epsilon^{1 3 2} + \epsilon^{1 3 2} \epsilon^{1 2 3} \\ &= -1 -1 \\ &= -2 \\ \kappa^{12} &= \epsilon^{2 cd} \epsilon^{1 dc} \\ &= 0 \end{align}$$ Wir können das sehen$\kappa^{ij} = - 2 \delta^{ij}$, was nur eine Konstante mal OPs Metrik ist.

Tötungsform (zweite Version)

Wenn Ihre Algebra-Elemente liegen$X \in \mathfrak{g}$als Matrizen realisiert werden können, dann können wir auch eine andere Tötungsform definieren

$$B(X, Y) = \mathrm{Tr}(XY).$$ Diese Killing-Form ist besser geeignet für den Umgang mit Lie-Algebren mit kommutierenden Elementen.

Dies ist auch invariant unter der adjungierten Wirkung der Lie-Algebra), dh für alle$Z \in \mathfrak{g}$,

$$\delta X = [Z, X] , \hspace{1cm} \delta Y = [Z, Y]$$

Dann

$$\begin{align} \delta B(X, Y) &= B(\delta X, Y) + B(X, \delta Y) \\ &= \mathrm{Tr}(\delta X Y) + \mathrm{Tr}(X \delta Y) \\ &= \mathrm{Tr}([Z, X] Y + X[Z,Y] ) \\ &= \mathrm{Tr}( Z X Y - X Z Y + X Z Y - X Y Z) \\ &= 0 \end{align}$$ wobei die letzte Linie aus der zyklischen Eigenschaft der Spur folgt.