Interpretation der geodätischen Bewegungskonstante

Die Schwartzschild-Metrik in Standardkoordinaten mit Signatur$(1,-1,-1,-1)$wird von gegeben

$$ds^2=(1-\frac{r_s}{r})\ dt^2 - (1-\frac{r_s}{r})^{-1}\ dr^2 - r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\ d\phi^2).$$ Da die Schwartzschild-Metrik zeitunabhängig ist, hat sie eine Zeitverschiebungssymmetrie, die durch einen Killing-Vektor beschrieben wird $\xi^\mu$gegeben von $$\xi^\mu = (1,0,0,0).$$ Dies impliziert, dass ein Teilchen auf einer geodätischen Bahn mit vier Geschwindigkeiten frei fällt $P^\mu$hat eine Bewegungskonstante $\epsilon$gegeben von $$\epsilon=\xi_\mu P^\mu.$$ ich verstehe das $\epsilon$kann als die Teilchenenergie interpretiert werden, die von einem stationären Beobachter weit vom Ursprung entfernt gemessen wird, wo die Metrik flach ist, mit vier Geschwindigkeiten $U^\mu=\xi^\mu$.

Kann man das auch interpretieren$\epsilon$als die Teilchenenergie, die von einem lokalen Beobachter gemessen wird, der mit dem Teilchen im freien Fall ist?

Ich nehme an, man muss sich irgendwie verwandeln$\epsilon=\xi_\mu P^\mu$zu den lokalen Koordinaten des frei fallenden Beobachters.