Interpretation normaler Koordinaten

In meinem Vorlesungsskript sind Normalkoordinaten wie folgt definiert:

Def. : Lassen ( e μ ) Grundlage sein T P ( M ) . Normale Koordinaten in einer Umgebung von P ∈ M sind als das Koordinatendiagramm definiert, das zugewiesen wird Q = e ( X P ) ∈ M die Koordinaten des Vektors X μ .

und der Dozent fährt fort, mathematisch zu beweisen, dass sich die Metrik in normalen Koordinaten zusammen mit einer Levi-Civita-Verbindung auf die Minkowski-Metrik reduziert G μ v = η μ v = D ich A G ( − 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) . Der Dozent definiert ein solches System als lokales Inertialsystem.

Ich hatte jedoch das Gefühl, dass der Beweis zu abstrakt war, da er ausschließlich auf mathematischen Argumenten basiert. Ich frage mich, ob es einen intuitiveren Weg gibt, die Äquivalenz von normalen Koordinaten und lokalen Trägheitsrahmen zu verstehen, oder eine physikalische Interpretation dieses mathematischen Ergebnisses.

Wenn Sie zu einem „lokalen Trägheitsrahmen“ gehen, erfahren Sie keine Gravitationskräfte. Mit anderen Worten, das Potential ist Null; also die erste Ableitung von G μ v an diesem Punkt ist Null. Ein Verteiler ist lokal R 4 und die Krümmung lässt es erstmals in zweiter Ordnung erscheinen H .
Welche Vorlesungsnotizen verfolgen Sie?

Antworten (1)

Überlegen Sie, wie Sie als frei fallender Beobachter tatsächlich ein lokales Trägheitskoordinatensystem konstruieren würden. Sie würden einen Satz starrer Stäbe nehmen (Schallgeschwindigkeit in ihnen fast gleich der Lichtgeschwindigkeit) und sie in Ihrer Nähe ausdehnen. Die Stangen würden auch mit einem Marker beschriftet sein, damit Sie überprüfen können, an welcher Stelle der Stange Ereignisse stattfinden. Schließlich würden Sie auch eine Uhr bei sich tragen, die die Zeit genau misst.

Nun würden Sie Ereignisse beobachten und davon ausgehen, dass die spezielle Relativitätstheorie gilt, ohne Kenntnis von gekrümmtem Raum und gekrümmter Zeit, und Ereignisse gemäß Ihrer Ortszeit kennzeichnen T und Positionen X ich auf der Stange, wo Sie sehen, dass Ereignisse passieren. (Sie sind sich bewusst, dass das Signal Sie mit Lichtgeschwindigkeit erreicht und korrigieren dies in Ihren Koordinaten.) Fragen Sie sich nun, was die Koordinaten bedeuten T , X ich in Bezug auf eine gekrümmte Raum-Zeit-Perspektive?

Sie sind also zunächst einmal ein frei fallender Beobachter, der sich entlang einer Geodäte bewegt. Also die Zeit T Sie messen mit Ihrer Uhr die Eigenzeit entlang einer Geodäte. Also, wenn Sie Ihre vier Geschwindigkeiten nehmen u μ und potenziere es ab dem Moment P , E X P P ( u μ ) , die Exponentialfunktion nimmt dich zeiteinheitlich entlang deiner Flugbahn ab P . Das sieht man dann in dem Moment, in dem man mit beschriften würde T liegt offensichtlich auf der Hand E X P P ( ( T − T P ) u μ ) . Mit anderen Worten, T ist eine der normalen Koordinaten! Nun zu den Stäben, diese erstrecken sich ungefähr entlang raumähnlicher Geodäten, zumindest wenn die Krümmung und Zeitvariabilität des Feldes in Ihrem Rahmen gering sind. Die Beschriftungen darauf sind also affine Parameter entlang räumlicher Geodäten. Sie sehen also durch das gleiche Argument wie für T Das X ich stellen den räumlichen Teil der Normalkoordinaten dar. Mit anderen Worten, frei fallende Beobachter beschreiben ihre Umgebung natürlich in Riemann-Normalkoordinaten!

Interpretation normaler Koordinaten
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v