Lokal flache Koordinaten und Christoffel-Symbole

Question

Lokal flache Koordinaten und Christoffel-Symbole

Josh Pilipovsky

Wir wissen in der Allgemeinen Relativitätstheorie (oder eher in der Differentialgeometrie), dass man an einem Punkt einige lokal flache Koordinaten haben kann (ich glaube, sie werden Riemann-Normalkoordinaten genannt). $P$ in unserer Mannigfaltigkeit (Raumzeit). An dieser Stelle $P$ , ist die Metrik bis zur Abweichung zweiter Ordnung euklidisch, d.h

G_{τ μ} \approx η_{τ μ} + B_{τ μ, λ σ} X^{λ} X^{σ} + . . .

$g_{\tau \mu} \approx \eta_{\tau \mu} + B_{\tau \mu \ ,\lambda \sigma} \ x^\lambda x^\sigma + ...$ Wo

B_{τ μ, λ σ}

$B_{\tau \mu \ ,\lambda \sigma}$ sind nur die Terme der Taylor-Koeffizienten (zweite Ordnung in

g

$g$ ).

Nun wurde ich zu der Annahme verleitet, dass die Christoffel-Symbole an dieser Stelle verschwinden sollten $P$ in lokal flachen Koordinaten, aber unter der Definition von ihnen bekomme ich

\begin{aligned} Γ_{ρ v}^{λ} & \equiv \frac{1}{2} G^{λ τ} (\partial_{ρ} G_{v τ} + \partial_{v} G_{ρ τ} - \partial_{τ} G_{ρ v}) \\ = η^{λ τ} (B_{τ v, κ ρ} + B_{τ ρ, κ v} - B_{ρ v, κ τ}) X^{κ} + . . . \end{aligned}

$\begin{split} \Gamma_{\rho \nu}^\lambda & \equiv \frac{1}{2} g^{\lambda \tau} (\partial_\rho g_{\nu \tau} + \partial_{\nu} g_{\rho \tau} - \partial_{\tau} g_{\rho \nu}) \\ & = \eta^{\lambda \tau}(B_{\tau \nu \ , \kappa \rho} + B_{\tau \rho \ , \kappa \nu} - B_{\rho \nu \ , \kappa \tau})\ x^\kappa + ... \end{split}$

Dies ist ein nicht verschwindendes Christoffel-Symbol. Wenn ich falsch verstehe, wann genau verschwinden die Symbole dann?

Peter Krawtschuk

...und einstellen

x = 0

$x=0$ Sie sehen, dass sie verschwinden.

Peter Krawtschuk

Der Punkt ist, dass Cristoffel-Symbole keine Tensoren sind. Wenn der Tensor in einem Koordinatensystem verschwindet, verschwindet er in jedem anderen. Aber die Cristoffel-Symbole beschreiben physikalisch die Beschleunigung, und das von Ihnen gewählte Koordinatensystem entspricht dem Gehen zu einem lokal "frei fallenden" Referenzrahmen. Der lineare Term, den Sie sehen, beschreibt die Gezeitenkräfte. In der Tat,

B

$B$ ist mit dem Riemann-Tensor verwandt, der normalerweise zur Beschreibung der Gezeitenkräfte verwendet wird.

Josh Pilipovsky

@Peter Kravchuk warum eingestellt

x = 0

$x=0$ ? Ja, ich verstehe, dass die Christoffel-Symbole keine Tensoren sind, und aus diesem Grund erhalten wir einen zusätzlichen Term unter der Ladung von Koordinaten, der uns dazu führt, die Definition der kovarianten Ableitung zu finden. Ich frage mich nur, warum sie nicht in diesem frei fallenden Rahmen verschwinden, wie Sie sagen

Peter Krawtschuk

Sie können sie nicht identisch verschwinden lassen. Denken Sie an das Äquivalenzprinzip, zum Beispiel die Rotation der Erde um die Sonne. Es gibt eine Gravitationskraft zur Sonne, aber wir erfahren sie nicht, da wir uns nicht in einem Inertialsystem befinden, sondern in einem beschleunigenden; Genauer gesagt, wir fallen frei in die Schwerkraft der Sonne. Aus diesem Grund ist beispielsweise im Zentrum der Erde die Anziehungskraft zur Sonne gleich Null. Aber es ist nicht überall auf der Erde Null – diese Kräfte ungleich Null sind die Gezeitenkräfte (allerdings sind die Gezeitenkräfte vom Mond stärker).

Antworten (2)

Lokal flache Koordinaten und Christoffel-Symbole

Der Punkt ist, dass Cristoffel-Symbole keine Tensoren sind. Wenn der Tensor in einem Koordinatensystem verschwindet, verschwindet er in jedem anderen. Aber die Cristoffel-Symbole beschreiben physikalisch die Beschleunigung, und das von Ihnen gewählte Koordinatensystem entspricht dem Gehen zu einem lokal "frei fallenden" Referenzrahmen. Der lineare Term, den Sie sehen, beschreibt die Gezeitenkräfte. In der Tat, $B$ ist mit dem Riemann-Tensor verwandt, der normalerweise zur Beschreibung der Gezeitenkräfte verwendet wird.
@Peter Kravchuk warum eingestellt $x=0$ ? Ja, ich verstehe, dass die Christoffel-Symbole keine Tensoren sind, und aus diesem Grund erhalten wir einen zusätzlichen Term unter der Ladung von Koordinaten, der uns dazu führt, die Definition der kovarianten Ableitung zu finden. Ich frage mich nur, warum sie nicht in diesem frei fallenden Rahmen verschwinden, wie Sie sagen
Sie können sie nicht identisch verschwinden lassen. Denken Sie an das Äquivalenzprinzip, zum Beispiel die Rotation der Erde um die Sonne. Es gibt eine Gravitationskraft zur Sonne, aber wir erfahren sie nicht, da wir uns nicht in einem Inertialsystem befinden, sondern in einem beschleunigenden; Genauer gesagt, wir fallen frei in die Schwerkraft der Sonne. Aus diesem Grund ist beispielsweise im Zentrum der Erde die Anziehungskraft zur Sonne gleich Null. Aber es ist nicht überall auf der Erde Null – diese Kräfte ungleich Null sind die Gezeitenkräfte (allerdings sind die Gezeitenkräfte vom Mond stärker).

Anton Quelle · Answer 1

Ihr Ausdruck für die Symbole des Cristoffel scheint richtig zu sein. Auf jeden Fall ist es definitiv richtig, dass sie nur für verschwinden sollten $x=0$ . Der Grund ist folgender:

Indem Sie ein Koordinatensystem wählen, kennzeichnen Sie die verschiedenen Punkte in einem Stück Ihrer Mannigfaltigkeit mit einer Reihe von Zahlen $x^\mu$ . Durch die Konstruktion der Punkt $P$ hat die Koordinaten $x=0$ , und nicht Null $x$ entsprechen Punkten um $P$ . Die Aussage, dass in Riemann Normalkoordinaten um $P$ , die Symbole der Cristoffels verschwinden bei $P$ bedeutet, dass die Symbole für verschwinden $x=0$ .

Wenn die Cristoffel-Symbole verschwinden würden $x$ in irgendeiner Nachbarschaft von $0$ , würde dies bedeuten, dass der Krümmungstensor in dieser Umgebung verschwindet. Dies gilt nur, wenn der Krümmer tatsächlich flach anliegt $P$ .

Benutzer108787 · Answer 2

In einigen Koordinatensystemen verschwinden sie, denke ich, was für mich sinnvoll ist, da Sie die Freiheit haben, das System zu wählen, in dem sie verschwinden.

Verschwinden der Christoffel-Symbole

Frage : Sind die Werte der Christoffel-Symbole für alle Koordinatensysteme auf einer Fläche/Mannigfaltigkeit gleich? Ich würde gerne ein Beispiel für den Kegel in zwei verschiedenen Parametrisierungen sehen.

Antwort: Die Antwort ist nein. Der Grund dafür ist, dass die Christoffel-Symbole weder Skalarfelder noch Tensorfelder sind, sie könnten in einem Koordinatensystem vollständig verschwinden und in einem anderen dennoch nicht verschwinden. Betrachten Sie als einfaches Beispiel die Ebene in kartesischen Koordinaten: Alle Christoffel-Symbole verschwinden. Betrachten Sie nun Polarkoordinaten, es wird einige geben, die nicht verschwinden

Lokal flache Koordinaten und Christoffel-Symbole

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Peter Krawtschuk

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Anton Quelle

Benutzer108787

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