Lokaler Trägheitsrahmen

Wenn$ds^2=\eta_{\alpha \beta}d \xi^{\alpha} d \xi^{\beta}$für alle Raumpunkte zuträfen, hätten wir keine Krümmung, also keine Schwerkraft!

Nehmen Sie zum Beispiel eine Kugel (die Erde), mit der wir lokal Entfernungen messen können$ds^2=dx^2+dy^2$, aber das kann nicht für zwei beliebige Punkte auf der Kugel gelten. Tatsächlich ändert sich dieses Koordinatensystem von Punkt zu Punkt (denken Sie an eine Tangentialebene an der Kugel).

Wir müssten die lokalen Koordinaten ersetzen, die Sie genannt haben$\xi^\alpha$(die kartesischen Koordinaten$x$Und$y$in diesem Fall) und ersetzen Sie sie durch einige andere globale Koordinaten, wie z. B. die Winkel$\theta$Und$\phi$. (Beachten Sie, dass wir immer noch Patches benötigen würden, um die gesamte Sphäre abzudecken). Dann würde der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten berechnet werden

Die Krümmung bringt uns also dazu, uns vorzustellen$g_{\mu\nu}$und die globalen Koordinaten$x^\mu$.

Ein lokaler Trägheitsrahmen würde keine Schwerkraft sehen und wäre in der Lage, spezielle Relativitätstheorie durchzuführen, für eine kleine Region gibt es keine signifikante Krümmung. Um die Analogie der Erde fortzusetzen, würden Sie die Krümmung in vielen Kilometern nicht schätzen, aber die lokale Region wäre viel kleiner als der gesamte Fleck. Beachten Sie, dass jede Weltkarte (ein ganzer Patch) aufgrund der Krümmung eine Verzerrung aufweist, eine kleine Straßenkarte jedoch keine Verzerrung aufweist.

In der Riemannschen Geometrie gibt es einen schönen Satz, der besagt, dass eine Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang genau dann und nur dann lokal flach ist, wenn der Krümmungstensor verschwindet. Daher in einem lokal flachen Koordinaten wie z$\Gamma_{jk}^i=0$,$g_{ij}$ist im gesamten Diagramm konstant und eine lineare Transformation kann verwendet werden, um die Metrik in eine flache Metrik zu diagonalisieren$\eta_{ij}$. In diesem Fall, und nur in diesem Fall, wäre es möglich, die flache Metrik im gesamten Diagramm zu verwenden.

Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall, da der Krümmungstensor normalerweise nicht verschwindet. Aber es ist immer noch möglich, eine Koordinate in einem Punkt zu finden$p$der Mannigfaltigkeit so dass$g_{ij}(p)=\eta_{ij}(p)$solange der Torsionstensor verschwindet (was in GR der Fall ist). Dies nennt man geodätische Koordinaten oder Normalkoordinaten. Dies geschieht jedoch für jeden Punkt anders$p$und es bedeutet nicht, dass die zweite Ableitung der Metrik und damit die Krümmung Null ist, und deshalb können Sie die flache Metrik nicht für die gesamte Mannigfaltigkeit erweitern (es sei denn, die Krümmung verschwindet). Denken Sie auch daran, dass die Metrik als Tensor unabhängig vom Koordinatensystem ist. Obwohl seine Koordinaten$g_{ij}$Wechsel von einem Rahmen zum anderen, das abstrakte Objekt$g=g_{ij}dx^i\otimes dx^j$Bleibt das selbe.

$g_{\mu \nu}(x)$bedeutet, dass$g$ist eine Funktion des Ortes ($x$) --- also variiert es über den Verteiler, was das Problem ist.

Ich denke, wenn$g \ne g(x)$, dann unbedingt$g = \eta$... Hoffentlich kann sich jemand anderes dazu äußern.

Lassen$\mathcal{M}$sei die Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit, deren lokale Karten (offene Mengen) durch beschrieben werden$U_i$.

Ein lokaler Koordinatenrahmen$S_i$ist eine Karte$\xi\colon U_i\mapsto \mathbb{R}^N$so dass$\xi(m) = (x_1,\ldots,x_N) \in \mathbb{R}^N, m\,\in U_i$. Lassen Sie außerdem$g$sei ein$(0,2)$Rangtensor (die Metrik).

Eine Koordinatenänderung ist jede glatte invertierbare Abbildung$f\colon U_i\mapsto U_j$. Unter solcher Karte das Element$\alpha$des Kotangensbündels transformieren als$\alpha'(x') = f_*(x)\alpha(x)$, mit$f_*$ist der Pullback der Karte$f$.

Es könnte möglich sein, wenn man ein Paar Diagramme hat$(U_i,U_j)$, finden$f$so dass die neue Metrik wie berechnet in$U_j$ergibt sich proportional zum alten in$U_i$; jedoch, da das Formular$f$ist stark abhängig von den Charts und vom Point, gleich anzuwenden$f_*$zu einem anderen Diagramm$U_k$möglicherweise nicht den Job (eigentlich die map$f$möglicherweise nicht einmal auf anderen Karten definiert).

Lineare Transformationen sind ein ganz besonderer Fall, da die Jacobi-Matrix nicht vom Punkt abhängt, da nach dem Ableiten die Abhängigkeit von$x$verschwindet. Dadurch können sie leicht auf die gesamte Mannigfaltigkeit erweitert werden, während dies für andere (nichtlineare) Koordinatenänderungen möglicherweise nicht möglich ist.

Mannigfaltigkeiten sind so definiert , dass sie lokal wie ein euklidischer Raum aussehen; deshalb nennen wir sie glatte Mannigfaltigkeiten.

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit, die lokal eine gewisse innere Produktstruktur hat, dh eine Möglichkeit, Längen und Winkel zu messen.

Längen und Winkel sind Invarianten und haben daher einen unveränderlichen Ausdruck in Bezug auf eine lokale Koordinatenbasis; und damit auch ein Transformationsgesetz.

Im Wesentlichen machen Sie lokal nur lineare Algebra.