Was macht eine Koordinate gekrümmt?

Nun, nach der Präsentation, die Sie geben, werden Sie haben$\frac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2}}\neq 0$, weil du die hast$\Gamma_{0i}{}^{j}$Bedingungen. Zum Beispiel${\ddot y} + 2\frac{\dot a}{a}{\dot y}{\dot t} = 0$(Ich missbrauche die Notation und meine die offensichtlichen Dinge mit Punkten, aber offensichtlich$a = a(t(s))$Und$y=y(s)$)

Die gewünschte Bedingung ist$\Gamma_{\mu\nu}{}^{i} = 0$, mit mindestens einem$\Gamma_{\mu\nu}{}^{0}\neq 0$. Ich bin mir sicher, dass es Metriken gibt, die diese Bedingung erfüllen, aber ich kenne keine (nicht-triviale${}^{1}$) von der Spitze meines Kopfes.

BEARBEITEN: Beachten Sie, dass sogar die minimal gekoppelte Metrik "Störungskugelpotential" gilt$ds^{2} = -(1-2\Phi(r))dt^{2} + dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}$wird eine von Null verschiedene Komponente für haben$\Gamma_{tt}{}^{r}$, daher könnte es etwas schwierig sein, ein nicht triviales Beispiel zu finden.

${}^{1}$Sie könnten zum Beispiel definieren$g_{ab} = -f(t)dt^{2} + \delta_{ij}dx^{i}dx^{j}$. Dies wird einen Wert ungleich Null haben$\Gamma_{tt}{}^{t}$, aber der Raum ist wirklich nur ein Minkowski-Raum, weil er durch die Substitution in ihn geändert werden kann$T = \int \sqrt{f(t)}dt$

Damit eine Mannigfaltigkeit gekrümmt ist (Eigenkrümmung), muss sie eine Dimension haben$\geq 2$, was bedeutet, dass mindestens zwei Hauptkrümmungen ungleich Null sein müssen, da die Gaußsche Krümmung das Produkt von ihnen ist. Dies kann nicht mit nur einem gekrümmten Basisvektor oder einer Dimension, wie Sie es ausdrücken, erreicht werden; Tatsächlich gibt es keine Möglichkeit, die Eigenkrümmung in Dimension 1 zu definieren, ein Kreis hat die Eigenkrümmung 0.

Eine andere Möglichkeit, dies genauer zu sehen, folgt. Für eine global hyperbolische Raumzeit$(M,g_{ab})$der Dimension 4 mit einem Zeitvektor (physikalisch relevant) kann man immer eine ADM-Zerlegung durchführen, was dies impliziert$M = \mathbb{R} \times \Sigma_t$für$\{t\} \subseteq \mathbb{R}$Und$\Sigma_t$ist die räumliche Hyperfläche der Schieferung. Wenn$\Sigma_t$flach ist, dann die Gauß-Codazzi-Gleichung

$$^{(3)}R_{abc}{}^d = h_a{}^f h_b{}^g h_c{}^k h^d{}_j R_{fgk}{}^j - K_{ac} K_b{}^d + K_{bc} K_a{}^d,$$ mit $K_{ab}$die äußere Krümmung von $\Sigma_t$Und $h_{ab}$seine Metrik, die auch als Projektionsoperator im Formular fungiert $h_a{}^b$, impliziert, dass wenn $\Sigma_t$ist flach ( $^{(3)}R_{abc}{}^d =0$, $K_{ab} \equiv h_a{}^c \nabla_c n_b =0$, mit $n_a$die Einheit normal zu $\Sigma_t$), dann ist es so $M$.

Ich denke, es ist besser, mit dem Krümmungstensor zu argumentieren$R_{ab}{}^\mu{}_\nu$. Es wird definiert durch

$$R_{ab}{}^\mu{}_\nu x^\nu = (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)x^\mu$$ Es sagt Ihnen also, inwieweit kovariante Ableitungen entlang der $a$Und $b$Achsen pendeln nicht. Daran sieht man formal, dass die Krümmung zwei Dimensionen benötigt, also macht es wenig Sinn, von einer gekrümmten Koordinate zu sprechen. Es macht keinen Sinn zu sagen "die Krümmung in der $t$-Richtung", es ist immer "die Krümmung in der $tx$-Ebene". Sie sollten von einer gekrümmten Scheibe sprechen: wenn Sie zwei Koordinaten finden können, so dass $$R_{12}{}^\mu{}_\nu = 0$$ in einigen Regionen werden die Oberflächen durch definiert $x^0 = t_0, x^3 = z_0$sind flach, ansonsten sind sie gekrümmt.

Das Vorherige ist im allgemeinen Fall. Das FLR-Gehäuse ist etwas Besonderes, da Sie dreidimensionale flache Scheiben finden können. Da die Raumzeit vierdimensional ist, muss jede Ebene, in der die Krümmung nicht verschwindet, die verbleibende orthogonale Richtung enthalten, die die ist$t$-Richtung.

Ein guter Ausgangspunkt scheint mir die geodätische Gleichung zu sein: [...]

Dies bezieht sich anscheinend auf eine bestimmte (Abbildung einer) Kurve$\gamma$; tatsächlich zu einer bestimmten zeitähnlichen Kurve$\gamma$wofür

$$\int_{\gamma} d \tau = \Delta \tau \mid_{\gamma} ~ \gt 0.$$

Gegeben sind zwei (nicht unbedingt unterschiedliche) (Bilder von) zeitähnlichen Kurven$\gamma$Und$\psi$der entsprechende reelle Zahlenwert des Verhältnisses

$$\int_{\gamma} d \tau ~ / ~ \int_{\psi} d \tau$$

ist natürlich eine geometrische Größe und unabhängig von einer bestimmten Zuordnung (falls vorhanden) von Koordinatentupeln zu diesen beiden (Bildern von) Kurven oder zu der gegebenen Menge von Ereignissen als Ganzes.

Also eine Metrik, bei der nur die Zeitkoordinate,$x^0$, gekrümmt ist, wäre eine, in der:

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 \neq 0$[...]

Wenn die Zeit koordinieren,$x^0$, wird einem gegebenen (Bild einer) zeitartigen Kurve zugeordnet$\gamma$so dass

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 = 0$

dann heißt die Zuordnung „gut“ (vgl. MTW Abb. 1.9) oder „affin“ (MTW § 10.1); insbesondere wenn es sich um geodätische Kurven handelt.

Umgekehrt, wenn die Zeitkoordinate,$x^0$, wird so zugeordnet, dass

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 \neq 0$, oder so, dass die Ableitung$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0$gar nicht existiert,
würde die Zuordnung folglich "nicht gut" oder "nicht affin" heißen.

(Die Zuordnungen der anderen "raumbezogenen" Koordinaten können separat besprochen werden.)

Im Gegensatz dazu ist die Krümmung eine geometrische Eigenschaft einer gegebenen Menge von Ereignissen (oder von Kurven als Teilmengen gegebener Ereignisse); und somit unabhängig von einer bestimmten Zuordnung (falls vorhanden) von Koordinatentupeln.