Warum ist die absolute Steigung des metrischen Tensors ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 in jedem Koordinatensystem? [Duplikat]

Nach dem Fundamentalsatz der Riemannschen Geometrie auf einer Mannigfaltigkeit$M$mit Metrik$g$, ist es immer möglich, eine Verbindung auszuwählen$\nabla$so dass,

$$\partial_X \langle Y,Z\rangle = \langle \nabla_X Y,Z\rangle + \langle Y, \nabla_X Z \rangle$$

Wo$X,Y$Und$Z$sind Vektorfelder. Durch Umwandlung in die explizite Indexnotation kann gezeigt werden, dass diese Bedingung impliziert, dass wir immer eine solche Verbindung wählen können$\nabla_a g_{bc} = 0$.

Um Ihre Frage direkt zu beantworten, können wir also immer eine Verbindung wählen, dh ein Mittel zum parallelen Transport von Tangentenvektoren wählen, so dass die metrischen Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.

Es sollte betont werden, dass diese Verbindungswahl, die Levi-Civita-Verbindung (die die zusätzliche Bedingung hat, torsionsfrei zu sein) nur eine Verbindungswahl für das Tangentenbündel ist$M$, und es gibt natürlich auch andere Auswahlmöglichkeiten und andere Bundles, auf die es nicht zutrifft.