Wie wird die kovariante Ableitung zweiter Ordnung eines Skalars berechnet?

Was ist eine kovariante Ableitung zweiter Ordnung?

∇ ich ∇ J F ( R )
bezüglich R , θ , G ( R ) und partielle Ableitung, vorausgesetzt, dass die Metrik die Form annimmt
D S 2 = D R 2 + G ( R ) D θ 2
Und F ist eine Skalarfunktion von R ?

Für Cartesianer weiß ich, dass sich die kovarianten Ableitungen auf partielle Ableitungen reduzieren. Da dies jedoch in Polarkoordinaten ist ...

Antworten (1)

Die kovariante Ableitung eines Skalars ist nur sein Gradient, da Skalare nicht von Ihren Basisvektoren abhängen:

∇ J F = ∂ J F

Jetzt ist es ein dualer Vektor, also hängt die nächste kovariante Ableitung von der Verbindung ab. Unter der Annahme der Levi-Civita-Verbindung, dh der Christoffel-Symbole, lautet die kovariante Ableitung:

∇ ich ∇ J F = ∇ ich ∂ J F = ∂ ich ∂ J F − ∂ k F   Γ ich J k

Vielen Dank, elfmotat. Ich habe eine weitere Frage: Ist die Levi-Civita-Verbindung nicht in die Definition der kovarianten Ableitung eingebaut? Ist eine zusätzliche Annahme erforderlich? -- Ich habe vielleicht etwas durcheinander gebracht. Danke noch einmal!
In GR wird angenommen, dass die Verbindung torsionsfrei ist, daher ist die Levi-Civita-Verbindung alles, was in den meisten einführenden Lehrbüchern diskutiert wird. Andere Verbindungen sind jedoch möglich, und die kovariante Ableitung hängt von der Art der Verbindung ab. Wenn Sie nur GR lernen, brauchen Sie sich darüber jedoch keine Gedanken zu machen.
Wie wird die kovariante Ableitung zweiter Ordnung eines Skalars berechnet?
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