Warum ist es naheliegend, die Bedingung zu stellen, dass die Metrik beim Paralleltransport unverändert bleibt?

Zuerst werde ich auf den Punkt von Avantgarde in einem Kommentar eingehen. Nehmen wir an, Sie befinden sich im Weltraum im freien Fall und haben zwei Gyroskope. Sie richten die Kreisel so aus, dass ihre Achsen senkrecht stehen. Die Richtungen ihrer Achsen können durch Dreiervektoren beschrieben werden, aber diese Dreiervektoren können auch auf natürliche Weise zu Vierervektoren befördert werden, indem Sie verlangen, dass sie Vektoren der Gleichzeitigkeit in Ihrem Rahmen sind, dh sie repräsentieren rein räumliche Verschiebungen für dich. Lassen Sie diese zwei Vektoren sein$v^a$Und$w^b$. Dann kann die Orthogonalität ihrer Achsen ausgedrückt werden als$v^aw_a=0$, was gleichbedeutend ist mit$g_{ab}v^aw^b=0$.

Nun, wenn die Zeit vergeht und Sie zusammen mit den Gyroskopen im freien Fall sind, erwarten wir, dass die Achsen dieser beiden Gyroskope orthogonal bleiben. Das ist wirklich nur das Äquivalenzprinzip am Werk. Die Eigenschaften der Raumzeit sind immer lokal äquivalent zu den Eigenschaften des Minkowski-Raums. Mathematisch bedeutet dies, dass wir erwarten$v^aw_a$null bleiben. Dies kann auf Fälle verallgemeinert werden, in denen die Vektoren nicht unbedingt raumartig sind oder in denen das Skalarprodukt nicht Null ist.

Auf einer philosophischeren/konzeptionelleren Ebene würden wir, wenn sich diese Art des inneren Produkts unter parallelem Transport ändern würde, die beobachtete Änderung wahrscheinlich einer Änderung der Metrik zuschreiben. Aber es macht keinen Sinn, über das Messen einer Änderung in der Metrik zu sprechen, weil die Metrik unser einziges Werkzeug ist, um überhaupt Messungen vorzunehmen. Wenn sich also beispielsweise die Metrik um den Faktor 2 ändern würde, woher würden wir das wissen? Das wäre so, als würden sich alle Objekte, einschließlich Lineale und Uhren, um den Faktor 2 ändern, aber das wäre nicht beobachtbar, weil sich nichts relativ zu irgendetwas anderem ändern würde.

Eine Weltlinie eines Testteilchens ist ein physikalisches Objekt, das nach dem Äquivalenzprinzip in einem lokalen Lorentzsystem als Gerade und in einem beliebigen Koordinatensystem als Geodäte beschrieben werden kann.

Lokaler Lorentzrahmen
$g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta}$flache Raumzeitmetrik
$\partial g_{\alpha \beta} / \partial x^\gamma = 0$
Hinweis: Ein lokaler Lorentz-Frame kommt einem globalen Lorentz-Frame am nächsten.
$d^2x^\alpha / d\tau^2 = 0$gerade Linie
$\tau$richtige Zeit

Beliebiger Koordinatenrahmen
$d^2x^\alpha / d\tau^2 + \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} (dx^\beta / d\tau) (dx^\gamma / d\tau) = 0$geodätisch
$\tau$affiner Parameter

Die Konsistenz der beiden Darstellungen verlangt$\Gamma^\alpha_{\beta \gamma} = 0$in jedem lokalen Lorentz-Rahmen, dh erfordert, dass jeder lokale Lorentz-Rahmen ein lokaler Trägheitsrahmen ist.

Das bedeutet, dass in einem lokalen Lorentzrahmen die kovariante Ableitung$\nabla_\gamma$zeigt an:
$\nabla_\gamma g_{\alpha \beta} = \partial g_{\alpha \beta} / \partial x^\gamma - \Gamma^\mu_{\alpha \gamma} g_{\mu \beta} - \Gamma^\mu_{\beta \gamma} g_{\alpha \mu} = 0$
Die kovariante Ableitung der Metrik verschwindet, weil die partielle Ableitung und die$\Gamma's$separat verschwinden. Die Gleichung ist jedoch tensorial, daher ist sie in jedem beliebigen Koordinatensystem gültig.

Das ist die physikalische Grundlage, warum die Metrik beim parallelen Transport unverändert bleibt.