Wann können wir niedrigere Indizes für „Nichttensoren“ erhöhen, wie in Diracs Buch *Allgemeine Relativitätstheorie* beschrieben?

Dies ist eine Fortsetzung meiner vorherigen Frage: Diracs Buch * Allgemeine Relativitätstheorie *: Zeigt dies nicht, dass die partielle Ableitung des metrischen Tensors Null ist?

Ich hätte diesen Fehler nicht machen sollen. Ich weiß es besser. Für mein eigenes Ego plädiere ich:

Wheelers erstes moralisches Prinzip: Machen Sie niemals eine Berechnung, bis Sie die Antwort kennen. Machen Sie vor jeder Berechnung eine Schätzung, versuchen Sie vor jeder Herleitung ein einfaches physikalisches Argument (Symmetrie! Invarianz! Erhaltung!), erraten Sie die Antwort auf jedes Paradoxon und Rätsel. Mut: Niemand sonst muss wissen, was die Vermutung ist. Machen Sie es daher schnell, instinktiv. Eine richtige Vermutung verstärkt diesen Instinkt. Ein falscher Tipp bringt die Erfrischung der Überraschung. In jedem Fall macht das Leben als Raumzeit-Experte mehr Spaß!

Ich gebe zu, dass Dr. Wheeler nicht empfohlen hat, meine Vermutung auf p.se zu posten. Trotzdem habe ich aus dem Fehler gewonnen. Es gibt ein paar Gründe, warum ich in Bezug auf das Verschwinden von falsch geraten habe$g_{\alpha\beta,\gamma}$. Einer ist, dass ich es wusste, zumindest unter bestimmten Umständen$g_{\alpha\beta,\gamma}$zumindest lokal zum Verschwinden gebracht werden kann. Wie ich mich jetzt erinnere, erfordert dies ein Riemann-normales lokales Koordinatensystem. Ich wusste auch, dass entweder die partielle oder die kovariante Ableitung des metrischen Tensors immer verschwindet. Aber was noch wichtiger ist, ich folgte dem, was Dirac anscheinend in Abschnitt 4 vorschreibt:

Wir können eine Menge haben$N^{\mu}{}_{\nu\rho\dots}$mit verschiedenen Auf- und Ab-Suffixen, was kein Tensor ist. Handelt es sich um einen Tensor, so muss er sich bei einem Wechsel des Koordinatensystems nach dem durch (3.6) veranschaulichten Gesetz transformieren. Bei jedem anderen Gesetz ist es ein Nichttensor. Ein Tensor hat die Eigenschaft, dass wenn alle Komponenten in einem Koordinatensystem verschwinden, sie in jedem Koordinatensystem verschwinden. Dies gilt möglicherweise nicht für Nichttensoren.

Für einen Nichttensor können wir Suffixe nach den gleichen Regeln erhöhen und senken wie für einen Tensor. So sind zum Beispiel

$$g^{\alpha\nu}N^{\mu}{}_{\nu\rho}=N^{\mu\alpha}{}_{\rho}.$$

Die Konsistenz dieser Regeln ist ziemlich unabhängig von den Transformationsgesetzen in ein anderes Koordinatensystem. In ähnlicher Weise können wir uns zusammenziehen, indem wir ein oberes und ein unteres Suffix gleich setzen.

Wir können Tensoren und Nichttensoren haben, die zusammen in derselben Gleichung auftreten. Die Regeln für das Ausbalancieren von Suffixen gelten gleichermaßen für Tensoren und Nichttensoren.

Als ich das zum ersten Mal las, machte es mich unruhig. Ich weiß, dass die affinen Verbindungskoeffizienten (Christoffel-Symbole) die von Dirac beschriebenen Eigenschaften von "Nichttensoren" haben. Ich habe einfach vermutet, und zwar falsch, dass seine Regel auf die partielle Ableitung des metrischen Tensors anwendbar ist. Ich bemerke, dass Dirac in Abschnitt 10 die partielle Ableitung eines Vektors in kovarianter Form einen "Nichttensor" nennt, was fälschlicherweise darauf hindeutet, dass die obige Vorschrift anwendbar ist. Hier also meine Frage:

Wann und warum können wir Diracs Rezept zum Anheben und Absenken von Indizes auf "Nichttensoren" anwenden? Mit anderen Worten, warum funktioniert es für Christoffel-Symbole, aber nicht für partielle Ableitungen von Tensoren? Meine beste Vermutung ist, dass es im Fall von Christoffel-Symbolen keine bereits vorhandene Definition für das Christoffel-Symbol der zweiten Art gibt, sodass wir es nach Belieben definieren können.