Problem beim Erhöhen / Senken von Indizes in kovarianten Ableitungen [geschlossen]

Question

Problem beim Erhöhen / Senken von Indizes in kovarianten Ableitungen [geschlossen]

Affe

Das kann ich nicht zeigen $\nabla_{a}V^{a}=g^{ac}\nabla_{a}V_{c}$ (Ich summiere lateinische Indizes von $0$ Zu $3$ ) für de Sitter-Metrik:

G = \frac{1}{H^{2} η^{2}} (- 1, 1, 1, 1) .

$g=\frac{1}{H^2\eta^2}(-1,\:1,\:1,\:1).$ Für diese Metrik sind die einzigen Christoffel-Symbole ungleich Null:

Γ_{00}^{0} = Γ_{ich ich}^{0} = Γ_{0 ich}^{ich} = Γ_{ich 0}^{ich} = - \frac{1}{η},

$\Gamma^{0}_{00}=\Gamma^{0}_{ii}=\Gamma^{i}_{0i}=\Gamma^{i}_{i0}=-\frac{1}{\eta},$ Wo

i \in {1, 2, 3}

$i\in\{1,2,3\}$ (Wir summieren nicht

i

$i$ hier und auch unten). Um zu bekommen

\nabla_{a} V^{a}

$\nabla_{a}V^{a}$ Ich habe ausgerechnet:

\nabla_{0} v^{0} = \partial_{0} v^{0} + Γ_{D 0}^{0} v^{D} = \partial_{0} v^{0} + Γ_{00}^{0} v^{0} = \partial_{0} v^{0} - \frac{1}{η} v^{0}

$\nabla_{0}V^{0}=\partial_{0}V^{0}+\Gamma^{0}_{d0}V^{d}=\partial_{0}V^{0}+\Gamma^{0}_{00}V^{0}=\partial_{0}V^{0}-\frac{1}{\eta}V^{0}$

\nabla_{ich} v^{ich} = \partial_{ich} v^{ich} + Γ_{D ich}^{ich} v^{D} = \partial_{ich} v^{ich} + Γ_{0 ich}^{ich} v^{0} = \partial_{ich} v^{ich} - \frac{1}{η} v^{0}

$\nabla_{i}V^{i}=\partial_{i}V^{i}+\Gamma^{i}_{di}V^{d}=\partial_{i}V^{i}+\Gamma^{i}_{0i}V^{0}=\partial_{i}V^{i}-\frac{1}{\eta}V^{0}$ Also habe ich schließlich

\nabla_{a} V^{a} = \partial_{a} V^{a} - \frac{4}{η} V^{0}

$\nabla_{a}V^{a}=\partial_{a}V^{a}-\frac{4}{\eta}V^{0}$ . Für Diagonalmetrik haben wir

g^{a c} \nabla_{a} V_{c} = g^{a a} \nabla_{a} V_{a}

$g^{ac}\nabla_{a}V_{c}=g^{aa}\nabla_{a}V_{a}$ , also ich habe gerechnet:

G^{00} \nabla_{0} v_{0} = G^{00} (\partial_{0} v_{0} - Γ_{00}^{D} v_{D}) = G^{00} (\partial_{0} v_{0} - Γ_{00}^{0} v_{0}) = G^{00} (\partial_{0} v_{0} + \frac{1}{η} v_{0}) = G^{00} \partial_{0} v_{0} - H^{2} η^{2} \frac{1}{η} v_{0} = G^{00} \partial_{0} v_{0} - H^{2} η v_{0}

$g^{00}\nabla_{0}V_{0}=g^{00}(\partial_{0}V_{0}-\Gamma^{d}_{00}V_{d})=g^{00}(\partial_{0}V_{0}-\Gamma^{0}_{00}V_{0})=g^{00}\left(\partial_{0}V_{0}+\frac{1}{\eta}V_{0}\right)=g^{00}\partial_{0}V_{0}-H^2\eta^2\frac{1}{\eta}V_{0}=g^{00}\partial_{0}V_{0}-H^2\eta V_{0}$

G^{ich ich} \nabla_{ich} v_{ich} = G^{ich ich} (\partial_{ich} v_{ich} - Γ_{ich ich}^{D} v_{D}) = G^{ich ich} (\partial_{ich} v_{ich} - Γ_{ich ich}^{0} v_{0}) = G^{ich ich} (\partial_{ich} v_{ich} + \frac{1}{η} v_{0}) = G^{ich ich} \partial_{ich} v_{ich} + H^{2} η^{2} \frac{1}{η} v_{0} = G^{ich ich} \partial_{ich} v_{ich} + H^{2} η v_{0}

$g^{ii}\nabla_{i}V_{i}=g^{ii}(\partial_{i}V_{i}-\Gamma^{d}_{ii}V_{d})=g^{ii}(\partial_{i}V_{i}-\Gamma^{0}_{ii}V_{0})=g^{ii}\left(\partial_{i}V_{i}+\frac{1}{\eta}V_{0}\right)=g^{ii}\partial_{i}V_{i}+H^2\eta^2\frac{1}{\eta}V_{0}= g^{ii}\partial_{i}V_{i}+H^2\eta V_{0}$ Und im Ergebnis:

G^{A A} \nabla_{A} v_{A} = G^{A A} \partial_{A} v_{A} - H^{2} η v_{0} + 3 H^{2} η v_{0} = G^{A A} \partial_{A} v_{A} + 2 H^{2} η v_{0} = \partial_{A} v^{A} + 2 H^{2} η v^{D} G_{D 0} = \partial_{A} v^{A} + 2 H^{2} η v^{0} G_{00} = \partial_{A} v^{A} + 2 H^{2} η (- \frac{1}{H^{2} η^{2}}) v^{0} = \partial_{A} v^{A} - \frac{2}{η} v^{0},

$g^{aa}\nabla_{a}V_{a}=g^{aa}\partial_{a}V_{a}-H^2\eta V_{0}+3H^2\eta V_{0}=g^{aa}\partial_{a}V_{a}+2H^2\eta V_{0}=\partial_{a}V^{a}+2H^2\eta V^{d}g_{d0}=\partial_{a}V^{a}+2H^2\eta V^{0}g_{00}=\partial_{a}V^{a}+2H^2\eta\left(-\frac{1}{H^2\eta^2}\right)V^{0}=\partial_{a}V^{a}-\frac{2}{\eta}V^{0},$ also bekam ich

\nabla_{a} V^{a} \neq g^{a c} \nabla_{a} V_{c}

$\nabla_{a}V^{a}\neq g^{ac}\nabla_{a}V_{c}$ . Was mache ich falsch?

Antworten (1)

Problem beim Erhöhen / Senken von Indizes in kovarianten Ableitungen [geschlossen]

JG · Answer 1

Lassen Sie uns zuerst eine dritte Methode verwenden, um herauszufinden, welche der ersten beiden zur Berechnung der Divergenz schief gelaufen ist: define $g:=\det g_{ab}=-(H\eta)^{-8}$ So

\nabla_{A} v^{A} = \frac{1}{\sqrt{| G |}} \partial_{A} (\sqrt{| G |} v^{A}) = \partial_{A} v^{A} + v^{A} \partial_{A} \ln \sqrt{| G |} = \partial_{A} v^{A} - \frac{4}{η} v^{0} .

$\nabla_aV^a=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_a\left(\sqrt{|g|}V^a\right)=\partial_aV^a+V^a\partial_a\ln\sqrt{|g|}=\partial_aV^a-\tfrac{4}{\eta}V^0.$ Dies sagt uns zumindest, dass keines der nicht verschwindenden Christoffel-Symbole stattdessen hätte sein sollen

+ \frac{1}{η}

$+\tfrac{1}{\eta}$ . Das Problem, auf das Sie gestoßen sind, ist

\partial_{a} V^{a} \neq g^{a c} \partial_{a} V_{c}

$\partial_aV^a\ne g^{ac}\partial_aV_c$ ; oder genauer gesagt

\begin{aligned} G^{A C} \nabla_{A} v_{C} & = G^{A C} \partial_{A} v_{C} - G^{A C} Γ_{A C}^{B} v_{B} \\ = \partial_{A} (G^{A C} v_{C}) - v_{C} G_{, A}^{A C} - G^{A C} Γ_{A C}^{B} v_{B} \\ = \partial_{A} v^{A} - v_{C} G_{, A}^{A C} - G^{A C} Γ_{A C}^{B} v_{B}, \end{aligned}

$\begin{align}g^{ac}\nabla_aV_c&=g^{ac}\partial_aV_c-g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b\\&=\partial_a(g^{ac}V_c)-V_cg^{ac}_{,\,a}-g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b\\&=\partial_aV^a-V_cg^{ac}_{,\,a}-g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b,\end{align}$ also müssen wir nur verifizieren

v_{C} G_{, A}^{A C} + G^{A C} Γ_{A C}^{B} v_{B} = \frac{4}{η} v^{0} = - 4 H^{2} η v_{0} .

$V_cg^{ac}_{,\,a}+g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b=\tfrac{4}{\eta}V^0=-4H^2\eta V_0.$ Deine Rechnung eigentlich nur berücksichtigt

G^{A C} Γ_{A C}^{B} v_{B} = (G^{00} Γ_{00}^{0} + \sum_{ich} G^{ich ich} Γ_{ich ich}^{0}) v_{0} = - 2 H^{2} η v_{0} .

$g^{ac}\Gamma_{ac}^bV_b=\left(g^{00}\Gamma_{00}^0+\sum_ig^{ii}\Gamma_{ii}^0\right)V_0=-2H^2\eta V_0.$ Aber

v_{C} G_{, A}^{A C} = v_{0} G_{, 0}^{00} = - 2 H^{2} η v_{0} .

$V_cg^{ac}_{,\,a}=V_0g^{00}_{,\,0}=-2H^2\eta V_0.$

Problem beim Erhöhen / Senken von Indizes in kovarianten Ableitungen [geschlossen]

Affe

Antworten (1)

JG

Affe

Wie kann ich zwei separate Gleichungen für Christoffel-Symbole erstellen, die dieselbe Antwort geben?

Frage von Schutz

Ist ein metrisches Tensorfeld dasselbe wie ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Warum ist die kovariante Ableitung des metrischen Tensors Null?

Inkonsistenz mit partiellen Ableitungen als Basisvektoren?

Fermi-Propagated Jacobi-Gleichung in dem Buch The Large scale structure of space-time

Unterschied zwischen Tensorprodukt, Skalarprodukt und der Wirkung eines dualen Vektors auf einen Vektor

Wann können wir niedrigere Indizes für „Nichttensoren“ erhöhen, wie in Diracs Buch Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben?

Warum wird die Minkowski-Raumzeit in Polarkoordinaten in Texten als flache Raumzeit behandelt?

Eindeutiger Beweis, dass der inverse metrische Tensor wirklich der Inverse ist