Eindeutiger Beweis, dass der inverse metrische Tensor wirklich der Inverse ist

In Frederic Schullers Vorlesungen über GR definiert er den metrischen Tensor als a$(0,2)$-Tensorfeld erfüllt:

1. $g(X,Y)=g(Y,X) \,\,\,\forall X,Y$
2. $\flat (X)$ist ein$C^\infty$-Isomorphismus, wo$\flat(X):=g(X,\cdot)$

Er definiert dann den inversen metrischen Tensor als die$(2,0)$-Tensorfeld erfüllt:

1. $g^{-1}(\omega,\sigma)=\omega(\flat^{-1}(\sigma))$

Das behauptet er dann ohne Beweis$(g^{-1})^{am}g_{mb}=\delta^a_b$.

Kann jemand einen sauberen Beweis dieser Aussage anbieten, ausgehend von Schullers Definitionen?

Ich begann damit:

Wenn ich das nur massieren könnte, um es zu verlassen$e^a(e_b)$das würde es tun, aber das scheint schwierig zu sein, da das Obige wirklich eine Zusammenfassung ist$m$, und auch die$e^a$Und$e_b$werden durch eine Multiplikation getrennt$\mathbb{R}$, während wir die brauchen$e^a$auf die „handeln“.$e_b$. Ich habe auch versucht, in Begriffen der Matrixmultiplikation zu denken, aber das wird seitdem chaotisch und verwirrend$\flat$muss auf Spaltenvektoren reagieren, aber Zeilenvektoren erzeugen.