Fermi-Propagated Jacobi-Gleichung in dem Buch The Large scale structure of space-time

Question

Fermi-Propagated Jacobi-Gleichung in dem Buch The Large scale structure of space-time

raegakj

Auf Seite 81, Gleichung (4.6), verwendet der Autor die Fermi-Ableitung, um die Jacobi-Gleichung zu schreiben

\begin{matrix} (4.6) & \frac{{D^{2}}_{F}}{\partial S^{2}}_{⊥} Z^{A} = - {R^{A}}_{B C D}_{⊥} Z^{C} v^{B} v^{D} + {H^{A}}_{B} {\dot{v}}^{B}_{; C}_{⊥} Z^{C} + {\dot{v}}^{A} {\dot{v}}_{B}_{⊥} Z^{B} \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4.6} \frac{{D^2}_\text{F}}{\partial s^2} {}_{\bot}Z^a = -{R^a}_{bcd}{}_{\bot}Z^cV^bV^d + {h^a}_b {\dot{V}^b}_{;c} {}_{\bot}Z^c + \dot{V}^a\dot{V}_b {}_{\bot}Z^b \end{equation}$ und auch die Gleichheit (4.5)

\begin{matrix} (4.5) & \frac{D_{F}}{\partial S}_{⊥} Z^{A} = {v^{A}}_{; B}_{⊥} Z^{B} \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4.5} \frac{D_{\text{F}}}{\partial s}{}_{\bot}Z^a = {V^a}_{;b}{}_{\bot}Z^b \end{equation}$ Wo

Z

$Z$ ist der Abweichungsvektor,

V

$V$ ist der Einheitstangentenvektor entlang der Zeitachsenkurven und

{h^{a}}_{b} = {δ^{a}}_{b} + V^{a} V_{b}

${h^a}_b = {\delta^a}_b+V^aV_b$ ist der Projektionsoperator (siehe this ).

Unter Verwendung der Eigenschaft von (i) bis (iv) der Fermi-Ableitung (die ich beweisen kann) ergeben sich Gleichung (4.6) und (4.5) natürlich aus Gleichung (4.3) und (4.4).

Das Problem liegt in den Gleichungen (4.7) und (4.8)

\begin{matrix} (4.7) & \frac{D}{D S} Z^{a} = {v^{a}}_{; β} Z^{β} \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4.7} \frac{\text{d}}{\text{d} s} Z^\alpha = {V^\alpha}_{;\beta} Z^{\beta} \end{equation}$

\begin{matrix} (4.8) & \frac{D^{2}}{D S^{2}} Z^{a} = (- {R^{a}}_{4 β 4} + {\dot{v}}^{a}_{; β} + {\dot{v}}^{a} {\dot{v}}_{β}) Z^{β} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4.8} \frac{\text{d}^2}{\text{d}s^2} Z^\alpha = (-{R^\alpha}_{4\beta 4} + {\dot{V}^\alpha}_{;\beta} + \dot{V}^\alpha \dot{V}_\beta)Z^\beta \end{equation}$ Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung in Bezug auf die Komponente (als Funktion auf der Kurve), und die griechischen Indizes nehmen den Wert an

1, 2, 3

$1,2,3$ , wobei die Zeitkomponente auf der vierten steht.

(4.7) abzuleiten

\begin{matrix} \frac{D_{F}}{\partial S}_{⊥} (Z^{a} E_{a}) = {v^{a}}_{; β} E^{β} \otimes E_{a} (_{⊥} Z^{γ} E_{γ}) \\ (\frac{D_{F}}{\partial S}_{⊥} Z^{a}) E_{a} = ({v^{a}}_{; β}_{⊥} Z^{β}) E_{a} \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{D_{\text{F}}}{\partial s}{}_{\bot}(Z^\alpha\mathbf{E}_\alpha) = {V^\alpha}_{;\beta} \mathbf{E}^\beta \otimes \mathbf{E}_\alpha ({}_{\bot}Z^\gamma \mathbf{E}_{\gamma}) \\ \biggl(\frac{D_{\text{F}}}{\partial s} {}_{\bot}Z^\alpha \biggr) \mathbf{E_\alpha} = \biggl( {V^\alpha}_{;\beta} {}_\bot Z^\beta \biggr) \mathbf{E_\alpha} \end{gather}$ Wo

E

$\mathbf{E}$ sind Basen orthogonal zu

V

$\mathbf{V}$ . Nun, ich kann die nicht loswerden

⊥

$\bot$ , aber der Autor schrieb auf Seite 82

Als ${}_\bot \mathbf{Z}$ ist orthogonal zu $\mathbf{V}$ es wird Komponenten in Bezug auf haben $\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3$ nur. So kann es ausgedrückt werden als $Z^\alpha \mathbf{E}_\alpha$ .

Ich schätze ${}_{\bot}Z^\alpha = Z^\alpha$ in dieser Schreibweise?

Bei Gleichung (4.8) wurden mehrere Terme weggezogen. Um den zweiten Term von (4.6) gleich (4.8) zu machen, denke ich

\begin{aligned} {H^{A}}_{B} ({v^{B}}_{; D} v^{D})_{; C}_{⊥} Z^{C} & = {H^{A}}_{B} ({v^{B}}_{; D C} v^{D} + {v^{B}}_{D} {v^{D}}_{; C})_{⊥} Z^{C} \\ = ({H^{A}}_{B} {v^{B}}_{; D})_{; C} v^{D}_{⊥} Z^{C} + {H^{A}}_{B} {v^{B}}_{D} {v^{D}}_{; C}_{⊥} Z^{C} - {H^{A}}_{B; C} {v^{B}}_{; D} v^{D}_{⊥} Z^{C} \\ = {\dot{v}}_{; C}^{A} - ({v^{A}}_{; C} v_{B} + v^{A} v_{B; C}) v^{D}_{⊥} Z^{C} \\ = {\dot{v}}_{; C}^{A} - v^{A} v_{B; C} v^{D}_{⊥} Z^{C} \end{aligned}

$\begin{align} {h^a}_b ({V^b}_{;d}V^d)_{;c} {}_\bot Z^c &= {h^a}_b ({V^b}_{;dc}V^d + {V^b}_d {V^d}_{;c}) {}_\bot Z^c \\ & = ({h^a}_b {V^b}_{;d})_{;c}V^d {}_\bot Z^c + {h^a}_b {V^b}_d {V^d}_{;c}{}_\bot Z^c - {h^a}_{b;c} {V^b}_{;d} V^d {}_\bot Z^c \\ & = \dot{V}^a_{;c} - ({V^a}_{;c}V_b + V^a V_{b;c}) V^d {}_\bot Z^c \\ & = \dot{V}^a_{;c} - V^a V_{b;c}V^d {}_\bot Z^c \end{align}$ Es gibt also am Ende einen zusätzlichen Term, wo er aus den Raumkomponenten des ersten Terms von (4.6) kontrahiert werden sollte

\begin{aligned} 0 = & - {R^{A}}_{B C D}_{⊥} Z^{C} v^{B} v^{D} - v^{A} v_{B; C} v^{D}_{⊥} Z^{C} \\ = & - ({v^{A}}_{D C} - {v^{A}}_{; C D})_{⊥} Z^{C} v^{D} - v^{A} v_{B; C} v^{D}_{⊥} Z^{C} \end{aligned}

$\begin{align} 0 =& -{R^a}_{bcd} {}_\bot Z^c V^b V^d - V^a V_{b;c}V^d {}_\bot Z^c\\ =& -({V^a}_{dc} - {V^a}_{;cd}){}_\bot Z^cV^d - V^a V_{b;c}V^d {}_\bot Z^c \end{align}$ Ich kann das nicht gleichsetzen.

Außerdem weiß ich nicht, wie ich diese Komponentendifferentialgleichung lösen soll, wo der Autor eine Antwort auf (4.7) gegeben hat

\begin{matrix} (4.9) & Z^{a} (S) = A_{a β} (S) Z^{β} |_{Q} \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4.9} Z^\alpha (s) = A_{\alpha \beta}(s) Z^\beta|_q \end{equation}$ Wo

A_{α β} (s)

$A_{\alpha \beta}(s)$ ist ein

3 \times 3

$3\times 3$ Matrix, die die Einheitsmatrix bei ist

q

$q$ und befriedigt

\begin{matrix} (4.10) & \frac{D}{D S} A_{a β} (S) = v_{a; γ} A_{γ β} (S) \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4.10} \frac{\text{d}}{\text{d} s} A_{\alpha\beta}(s) = V_{\alpha ;\gamma} A_{\gamma \beta}(s) \end{equation}$ Gleichung (4.9) zieht sich nicht einmal auf den korrekten Index zusammen, und sie entspricht nicht (4.7), wenn sie wieder eingesteckt wird. Und dann gibt es noch Gleichung (4.11)

\begin{matrix} (4.11) & A_{a β} = Ö_{a δ} S_{δ β} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4.11} A_{\alpha \beta} = O_{\alpha \delta} S_{\delta \beta} \end{equation}$ Wo

O_{α δ}

$O_{\alpha \delta}$ ist eine orthogonale Matrix mit positiver Determinante und

S_{δ β}

$S_{\delta \beta}$ ist eine symmetrische Matrix. Ich kann mir die Physik dahinter nicht erklären.

Jeder Rat wäre sehr dankbar, da ich versuche, diese neuen Ideen und Gleichungen zu klären! Danke!

Antworten (1)

Fermi-Propagated Jacobi-Gleichung in dem Buch The Large scale structure of space-time

Ryan Unger · Answer 1

Lassen Sie uns das zunächst argumentieren ${}_\bot Z^\alpha={}_\bot Z^a$ . Jetzt, ${}_\bot\mathbf{Z}$ enthält nicht die Komponente von $\mathbf{Z}$ entlang $\mathbf{V}$ . Angenommen, wir expandieren $\mathbf{Z}$ in Bezug auf die Grundlage $\{\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3,\mathbf{V}\}$ , dann ist klar, dass die Projektion von $\mathbf{Z}$ in den Unterraum orthogonal zu $\mathbf{V}$ (was genau ist ${}_\bot\mathbf{Z}$ ) enthält nur die Bestandteile von $\mathbf{Z}$ im $\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3$ Richtungen. Aber diese Komponenten sind gerecht $Z^\alpha$ , die wir gleich gezeigt haben ${}_\bot Z^\alpha$ .

Wir wissen das ${}_\bot\mathbf{Z}=Z^\alpha\mathbf{E}_\alpha$ , aber da der Rahmen $\{\mathbf{E}_\alpha\}$ Fermi-transportiert ist, haben wir

\frac{D_{F}}{\partial S}_{⊥} Z = \frac{D_{F}}{\partial S} (Z^{a} E_{a}) = \frac{D_{F} Z^{a}}{\partial S} E_{a} + Z^{a} \frac{D_{F} E_{a}}{\partial S} = \frac{D Z^{a}}{D S} E_{a}

$\frac{\mathrm{D}_\mathrm{F}}{\partial s}{}_\bot \mathbf{Z}=\frac{\mathrm{D}_\mathrm{F}}{\partial s}(Z^\alpha\mathbf{E}_\alpha)=\frac{\mathrm{D}_\mathrm{F}Z^\alpha}{\partial s}\mathbf{E}_\alpha+Z^\alpha\frac{\mathrm{D}_\mathrm{F}\mathbf{E}_\alpha}{\partial s}=\frac{\mathrm{d}Z^\alpha}{\mathrm{d}s}\mathbf{E}_\alpha$ (Wir haben die Eigenschaft (iii) auf Seite 81 verwendet.) So sehen die gewöhnlichen Ableitungen aus.

Für $\mathbf{X}$ jeder Vektor, das ist klar $X^a{}_\bot Z_a=X^\alpha Z_\alpha$ Weil ${}_\bot Z^4=0$ Und ${}_\bot Z^\alpha=Z^\alpha$ , wie oben gezeigt wurde. (4.7) sollte nun klar sein.

Für $\boldsymbol{\omega}$ jeder Covektor, den wir haben $\omega_aV^a=\omega_4$ Weil $\mathbf{V}$ ist der vierte Basisvektor. Dies erklärt das Vorhandensein der $4$ s in (4.8). Der $\alpha$ s auf den anderen Vektoren erscheinen, weil wir setzen $a=\alpha$ auf der linken Seite von (4.6) sowieso und verwenden $h^a{}_b$ hinein projizieren $H_p\mathcal{M}$ . Dies sollte (4.8) erklären.

Die Gleichungen (4.9) und (4.10) sind die Standardlösungsverfahren für ein lineares Differentialsystem erster Ordnung wie (4.7). Um dies zu überprüfen, leiten Sie von (4.9) ab und setzen (4.10) ein:

\frac{D Z^{a}}{D S} = \frac{D A_{a β}}{D S} Z^{β} |_{Q} = v_{a; γ} A_{γ β} Z^{β} |_{Q} = v_{a; γ} Z^{γ}

$\frac{\mathrm{d}Z^\alpha}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}A_{\alpha\beta}}{\mathrm{d}s}Z^\beta\rvert_q=V_{\alpha;\gamma}A_{\gamma\beta}Z^\beta\rvert_q=V_{\alpha;\gamma}Z^\gamma$

Seit $A$ eine reelle Matrix ist, an den Stellen wo $\det A\ne0$ , seine polare Zerlegung ist von der Form $OS$ , Wo $O\in\mathrm{SO}(3)$ Und $S=S^t$ . $O$ stellt die Drehung der Kurven dar, da sie ein Element von ist $\mathrm{SO}(3)$ , die Rotationsgruppe. $S$ wird so interpretiert, dass es uns etwas über die Trennungen sagt, weil es symmetrisch ist. Der Abstand zwischen den Stromlinien in der $\alpha\beta$ Richtung ist die gleiche wie in der $\beta\alpha$ Richtung.

Vielen Dank, ich würde am Nachmittag darüber nachdenken. Könnten Sie einige Literaturstellen für weitere Details nennen? Danke.
@Henry Wald, General Relativity (1984) behandelt einiges aus dem gleichen Material, aber zum größten Teil war Hawking-Ellis für mich klar genug.
Ihre Argumentation zur Ableitung von Gleichungen ist sehr klar! Aber ich kann die physikalische Bedeutung von nicht verstehen $A_{\alpha \beta}$ (Ich kann es fühlen, aber nicht deutlich. Ich meine, warum hat er es in Matrix zerlegt $O$ Und $S$ , Wo $O$ ist in der Rotationsgruppe, aber was ist mit $S$ ? Warum Trennung?) Ich glaube nicht, dass (4.9) eine Lösung der Differentialgleichung ist, da die Matrix $A$ ist selbst unbestimmt und erfüllt nur eine weitere Differentialgleichung (4.10).
Was ist mit der Determinante von $A$ (oder $S$ ), die später als Volumenexpansion in Gleichung (4.20) dient? Der Autor erwähnt jedoch eine Analogie zur Newtonschen Hydrodynamik. Bevor schließlich die berühmte Raychaudhuri-Gleichung entsteht, ist die Benennung nicht so klar (vielleicht sollte ich sie mit einem Körnchen Salz nehmen).
@Henry Ich habe die Frage aktualisiert. Welche "Namensgebung" ist nicht so klar?
Genauer gesagt die Trennung $S_{\delta \beta}$ und die dreibändige $\det A$ . Ich sollte erwähnen, dass es andere Gleichungen gibt, die ich nicht herleiten kann ... Ich werde mein Bestes geben, bevor ich eine weitere Frage poste! Danke noch einmal.
@Henry Es könnte eine Intuitionssache sein. Beachten Sie, dass $\det A=\det S$ ist das Volumen, weil Determinanten allgemein Volumen angeben. Das ist wirklich eine Analogie, die formale Mathematik hängt nicht davon ab.
Eine weitere Frage bezüglich der Analogie ist, was die Ausbreitung von Vorticity, Scherung und Expansion entlang der Integralkurven (Seite 83) bedeutet, da diese Begriffe (Turbulenz, Scherung und Expansion) an einem bestimmten Punkt definiert sind $q$ (Seite 82), sodass sie als (anti-)symmetrischer Teil von angesehen werden können $V_{\alpha ;\beta}$ ? Wählen wir eine Anfangsbedingung an $Z{^\beta}_{|_q}$ , wie definieren wir diese Begriffe dann an einem anderen Punkt (wo die Matrix $A$ ist keine Einheitsmatrix). Ich bin mir nicht sicher, ob ich eine weitere Frage posten soll.
@Henry Du verstößt bereits gegen die Regel "eine Frage pro Beitrag", also stelle eine andere Frage
Ich wäre Ihnen mehr als dankbar, wenn Sie darauf antworten könnten . Ihre Erklärung ist sehr klar. Danke!!
Ah, mir ist aufgefallen, dass Sie gesagt haben: "Wir haben $X^aV_a = X^4$ Weil $\mathbf{V}$ ist der vierte Basisvektor". Das sollte es sein $-V^a g_{ab}$ ist die vierte duale Basis und es sollte ein extra Minus-Seufzer da sein $\mathbf{V}$ ist zeitgemäß. Aber ohnehin erfordert der Kontext nur $X_aV^a = X_4$ .
Ich dachte über die Methode zur Einführung der Matrix nach (nicht Tensor) $A_{\alpha\beta}$ . Ihre letzte Gleichung ist eindeutig nicht korrekt: $\text{d}Z^\alpha/\text{d}s = V_{\alpha\,;\,\gamma}\, Z^\gamma$ . Es sollte der (1,1)-Tensor sein $V^\alpha{}_{;\, \gamma}$ ; obwohl es auf orthonormaler Basis keinen Unterschied zwischen Vektor- und Einsform gibt. Was können wir dagegen tun? Ich fühle mich nicht wohl dabei, Matrix und Tensor in einer Gleichung zu mischen.
Ich meine, sie sind Bestandteile von Tensoren und transformieren sich wie Tensorindizes. Sie können mit der Metrik eindeutig auf zugehörige Komponenten von Tensoren abgebildet werden. Jedoch, $A$ Matrix besitzt diese Eigenschaften nicht. Und $V_{a;b} = g_{ac}V^c{}_{;b}$ wenn wir eine metrisch kompatible Verbindung haben.

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