Wie kann ich zwei separate Gleichungen für Christoffel-Symbole erstellen, die dieselbe Antwort geben?

Ich habe die kovariante Ableitung studiert und bin verwirrt über die Berechnung der Christoffel-Symbole$\Gamma$. Die Rechengleichung$\Gamma$ist gegeben als:

$${\Gamma^c}_{ab} = \frac12 g^{ck} (\partial_a g_{bk} + \partial_b g_{ak} - \partial_k g_{ab} )$$

Dadurch entsteht ein$\Gamma$die in a und b symmetrisch ist. Und es verwandelt sich als:

$$\Gamma' = T \Gamma S S + \partial S T$$

Wo$S$ist die Transformationsmatrix und$T$ist das Gegenteil. Unter Verwendung dieser Gleichung, wenn wir von einem flachen Raum wo transformieren$\Gamma = 0$, Dann:

$$\Gamma' = \partial S T$$

Aber diese Gleichung ergibt nicht immer a$\Gamma$was symmetrisch ist. und wird daher nicht die gleiche Antwort wie die erste Gleichung geben. Ich habe dies mit folgender Transformationsmatrix in einer versucht$(x,y)$Koordinatensystem:

$$S = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & x \end{bmatrix}$$

Dies erzeugt einen metrischen Tensor von:

$$g' = gSS = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & x^2 \end{bmatrix}$$

Dies ist der gleiche metrische Tensor wie für Polarkoordinaten (mit$x$anstatt$r$). Unter Verwendung der ersten Gleichung ergeben sich die Christoffel-Symbole wie folgt:

$$\Gamma' = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & -x\end{bmatrix} _{\begin{bmatrix}0 & \frac1x \\ \frac1x & 0\end{bmatrix}}$$

Aber mit der zweiten Gleichung bekomme ich:

$$\Gamma' = \partial S T = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} _{\begin{bmatrix}0 & 0 \\ \frac1x & 0\end{bmatrix}}$$

Warum sind sie anders? Mir muss etwas fehlen, vielleicht offensichtlich, aber ich habe es viele Male recherchiert und berechnet und kann das Problem nicht finden.