Unterschied zwischen Tensorprodukt, Skalarprodukt und der Wirkung eines dualen Vektors auf einen Vektor

Leider ist dies mathematisch, weil es lineare Algebra ist. Trotzdem versuche ich es so einfach wie möglich zu machen.

Skalarprodukt, auch als inneres Produkt bekannt

Das Skalarprodukt ist das übliche Produkt aus der Grundgeometrie. Lassen Sie uns weiterarbeiten$\mathbb{R}^3$, der euklidische dreidimensionale Raum. Bei zwei Vektoren, die auf dem Ursprung sitzen,$v,w\in \mathbb{R}^3$wir definieren das Skalarprodukt zwischen ihnen als:

$$v\cdot w = v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z$$

Der Grund dafür ist, dass dies Informationen über Längen und Winkel gibt. Erstens ist die Länge eines Vektors, also der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt, den er erreicht, einfach$|v|=\sqrt{v\cdot v}$der Winkel zwischen zwei Vektoren ist gekennzeichnet durch$v\cdot w = |v| |w| \cos\theta$.

Das Skalarprodukt ist der Name der Verallgemeinerung davon. Zunächst kann man leicht auf einen euklidischen Raum beliebiger Dimension verallgemeinern$\mathbb{R}^n$indem man das innere Produkt dazwischen bildet$v,w\in \mathbb{R}^n$als

$$\langle v,w\rangle=\sum_{i} v_i w_i$$

und Definieren der Länge und des Winkels durch die entsprechenden Formeln. Das innere Produkt kann weiter abstrahiert werden. Man kann es durch Axiome definieren: sagen, welche Eigenschaften es haben soll. Und dies lässt sich noch weiter auf abstraktere Räume verallgemeinern. Fazit: Das Skalarprodukt liefert geometrische Informationen wie Winkel und Längen von Vektoren.

Es ist auch wichtig zu verstehen, dass das Skalarprodukt Ihnen die Idee gibt, einen Vektor in die Richtung des anderen zu projizieren. Eigentlich wenn$w$ist ein Einheitsvektor,$|w|=1$, Dann$\langle v,w\rangle$ist die Projektion von$v$in der Richtung von$w$. Das kannst du einchecken$\mathbb{R}^3$unserer Intuition entsprechen.

Die Wirkung eines Covektors auf einen Vektor

Jetzt vergiss es$\mathbb{R}^n$. Betrachten Sie stattdessen einen Vektorraum$V$über die reellen Zahlen. Jedem solchen Vektorraum ist der sogenannte Dualraum zugeordnet$V^\ast$. Er ist definiert als der Raum aller linearen Funktionen, der Vektoren nimmt und Zahlen liefert . In Symbolen ein Mitglied von$V^\ast$ist eine Funktion$f : V \to \mathbb{R}$, nimmt es ein Element der Menge links vom Pfeil und gibt ein Element rechts vom Pfeil. Außerdem,$f$ist linear, was bedeutet, dass$f(\alpha v + \beta w) = \alpha f(v) + \beta f(w)$. Alle diese Funktionen umfasst$V^\ast$.

Es stellt sich heraus, dass wenn$V$hat ein inneres Produkt$\langle,\rangle$darauf definiert, können Sie Elemente bauen$V^\ast$damit. Sie fixieren einfach einen beliebigen Vektor$w\in V$, und definieren$f_w : V\to \mathbb{R}$sein

$$f_w(v)=\langle v,w\rangle$$

Was ist$f_w$? Es ist eine Funktion, die einen Vektor nimmt und ihn mit dem Festpunkt punktet$w$, also projiziert es. Tatsächlich können wir uns unabhängig von der Existenz eines inneren Produktes alle Elemente vorstellen$V^\ast$als Dinge, die Vektoren nehmen und Projektionen extrahieren. Dies ist der Weg zu verstehen$V^\ast$und Covektoren im Allgemeinen.

Übrigens, wenn$V$ist endlich dimensioniert und hat ein inneres Produkt, wie es in der Allgemeinen Relativitätstheorie sein wird, dies funktioniert umgekehrt zu. Alle Covektoren haben diese Form: das Skalarprodukt mit einem bestimmten Vektor.

Wichtig genug, wenn$\{e_i\}$ist eine Grundlage für$V$, gibt es eine spezielle Basis für$V^\ast$wird als duale Basis von bezeichnet$\{e_i\}$als alle Elemente definiert$\varphi^i : V\to \mathbb{R}$so dass$\varphi^i(e_j)=\delta^i_j$.

Das Tensorprodukt

Ganz anders das Tensorprodukt. Es gibt eine sehr allgemeine und abstrakte Definition, die von der sogenannten universellen Eigenschaft abhängt. Es besagt im Wesentlichen Folgendes: Wir wollen den allgemeinsten Weg, Vektoren miteinander zu multiplizieren und diese Produkte zu manipulieren, indem wir einigen vernünftigen Annahmen gehorchen.

Wir werden diesen Weg nicht gehen. Für die Differentialgeometrie (die Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie) gibt es eine andere Definition, die für den interessierenden Fall letztendlich dieser entspricht.

Gegeben sei ein Vektorraum$V$, wir wissen$V^\ast$der Raum aller linearen Funktionen$f : V\to \mathbb{R}$. Wir kennen auch das Skalarprodukt, das ist eine Funktion, die zwei Vektoren nimmt und eine Zahl liefert. Wir schreiben symbolisch$\langle,\rangle : V\times V\to \mathbb{R}$weil es zwei Vektoren zu einer Zahl braucht.

Außerdem, wenn wir einen Vektor fixieren$w\in V$in entweder Eintrag von$\langle,\rangle$, der andere Schlitz ist linear. Eine solche Abbildung heißt bilinear. Es ist in jedem Eintrag linear, wobei die anderen mit etwas in ihnen festgehalten werden.

Wir definieren einen Tensor vom Typ$(r,0)$die Verallgemeinerung zu sein$r$Vektoren. Es braucht$r$Vektoren zu einer Zahl und ist in jedem Eintrag linear, während die anderen fest gehalten werden. Wir schreiben$T : V\times\cdots \times V \to \mathbb{R}$mit$r$Kopien von$V$. Der Raum der Tensoren vom Typ$(r,0)$bezeichnet ist$T_r^0 (V)$und offensichtlich$T_1^0(V)=V^\ast$.

Nun, wenn Sie haben$f,g\in V^\ast$das ist ganz offensichtlich$T(v,w)=f(v)g(w)$ist ein Element von$T_2^0(V)$. Wenn$f\in V^\ast$Und$h\in T_2^0(V)$zum Beispiel haben wir auch$T(v_1,v_2,v_3)=f(v_1)h(v_2,v_3)$ein Element von$T_3^0(V)$.

Die Verallgemeinerung ist das Tensorprodukt. Es ist eine Operation, die zwei Tensoren auf diese Weise miteinander verkettet. Es kann geschrieben werden als$\otimes : T_r^0(V)\times T_s^0(V)\to T_{r+s}^0(V)$und ist so definiert, dass wenn$T\in T_r^0(V)$ist ein$(r,0)$Typ Tensor und$S\in T_s^0(V)$ist ein$(s,0)$Typ Tensor, dann

$$T\otimes S(v_1,\dots,v_r,w_1,\dots,w_s)=T(v_1,\dots,v_r)S(w_1,\dots,w_s).$$

Nun sagt ein Theorem, dass eine Basis gegeben ist$\{e_i\}$von$V$und die duale Basis$\{\varphi^j\}$von$V^\ast$, dann für alle$r\in \mathbb{N}$, die Menge aller Produkte von$r$Elemente$\varphi^j$ist eine Grundlage von$T_r^0(V)$. Zum Beispiel,$\{\varphi^i\otimes \varphi^j\}$ist eine Grundlage von$T_2^0(V)$.

Unterschiede und Beziehungen

Jedes Produkt hat seinen Nutzen. Innenprodukte geben geometrische Ideen wie Projektionen, Winkel und Längen. Wenn Covektoren auf Vektoren angewendet werden, kann man auch davon ausgehen, dass sie eine Art Projektionen liefern, aber sie geben nicht allein eine Vorstellung von Winkeln und Längen. Während innere Produkte postuliert werden müssen (ein Vektorraum kann ein inneres Produkt tragen oder nicht), kommen im Dual alle Vektorräume mit Kovektoren zusammen.

Das Tensorprodukt ist eine allgemeinere Multiplikation von Vektoren, mit der man eine Tensoralgebra aufbauen kann. Aber für die Differentialgeometrie sind Tensoren als multilineare Abbildungen einer Anzahl von Vektoren zu denken. In dieser Situation erlauben uns die Tensorprodukte, höhere Typen von Tensoren zu bauen, indem wir andere niedrigerer Typen zusammenfügen.

Da das innere Produkt selbst interessanterweise a ist$(2,0)$Tensor, und da können wir eine Basis für bilden$T_2^0(V)$Unter Verwendung von Kovektoren und dem Tensorprodukt sehen wir, dass das innere Produkt letztendlich eine Linearkombination von Produkten von Kovektoren ist. Es ist also wirklich aus Covektoren aufgebaut.

Das Tensorprodukt kombiniert zwei niederrangige Tensoren zu einem höherrangigen. Sie können beispielsweise zwei Vektoren setzen$v^a$Und$w^b$zusammen, um einen Rang-2-Tensor zu erstellen$v^aw^b$, die als Matrix gedacht werden kann. In diesem speziellen Beispiel ist das Tensorprodukt im Wesentlichen das direkte Produkt zweier Vektoren. Sie können diese Idee direkt auf höherrangige Tensoren verallgemeinern.

Das Skalarprodukt kombiniert zwei Vektoren zu einem Skalar (einer Zahl). Es ist eigentlich das innere Produkt. Sie brauchen eine Metrik$g_{ab}$dazu.

Die Wirkung eines dualen Vektors$\omega_a$auf einem Vektor$v^a$ergibt auch einen Skalar. Der Unterschied besteht darin, dass der metrische Tensor nicht benötigt wird.

Wenn ein metrischer Tensor$g_{ab}$vorhanden ist, hängen die beiden obigen Operationen zusammen. Wenn ein Vektorfeld$w^a$gegeben ist, können Sie einen dualen Vektor konstruieren$\omega_a=g_{ab}w^b$, und die Aktion von$\omega_a$auf einem Vektor$v^a$ist eigentlich das Skalarprodukt zwischen$v^a$Und$w^a$:$\omega_av^a=g_{ba}w^bv^a$.