Frage von Schutz

Die kovariante Ableitung ist metrisch kompatibel, also$\nabla_{\alpha} g_{\beta \gamma} = 0$. Dies ist die Bedingung, dass das Innenprodukt beim parallelen Transport erhalten bleibt.

Ich glaube nicht, dass Sie metrische Kompatibilität benötigen, um dies zu beweisen, obwohl Sie es verwenden können. Es gibt einen viel einfacheren Weg mit wiederholter Verwendung (jeder) Metrik, um den Index zu senken.

$U^\alpha\nabla_\alpha V^\beta=W^\beta$

$\Rightarrow U^\alpha g^{\beta\gamma}\nabla_\alpha V_\gamma=g^{\beta\gamma}V_\gamma$

$\Rightarrow U^\alpha g_{\mu\beta}g^{\beta\gamma}\nabla_\alpha V_\gamma=g_{\mu\beta}g^{\beta\gamma}V_\gamma$

$\Rightarrow U^\alpha\delta_\mu^\gamma\nabla_\alpha V_\gamma=\delta_\mu^\gamma V_\gamma$

$\Rightarrow U^\alpha\nabla_\alpha V_\mu=V_\mu$

Es gibt drei Möglichkeiten, den ersten Schritt auszuführen, nur eine verwendet die metrische Kompatibilität. Mehr unter https://www.general-relativity.net/2019/10/symmetries-and-killing-vectors.html