Contracting-Indizes

Question

Contracting-Indizes

Benutzer38032

Weiß jemand wie man im System von (1) nach (2) kommt

\begin{aligned} (1) & g_{, ρ}^{μ v} + g^{σ v} Γ_{σ ρ}^{μ} + g^{μ σ} Γ_{ρ σ}^{v} - \frac{1}{2} (Γ_{ρ σ}^{σ} + Γ_{σ ρ}^{σ}) g^{μ v} & = 0, \\ (2) & g_{, v}^{[μ v]} + \frac{1}{2} (Γ_{ρ v}^{ρ} - Γ_{v ρ}^{ρ}) g^{(μ v)} & = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{g}^{\mu\nu}_{,\rho}+ \mathrm{g}^{\sigma\nu}{{\Gamma}}^{\mu}_{\sigma\rho}+ \mathrm{g}^{\mu\sigma}{{\Gamma}}^{\nu}_{\rho\sigma} -\frac{1}{2}( {{\Gamma}}^{\sigma}_{\rho\sigma}+{{\Gamma}}^{\sigma}_{\sigma\rho} ) \mathrm{g}^{\mu\nu} &=0, \tag1 \\ \mathrm{g}^{[\mu\nu]}_{,\nu} +\frac{1}{2}( {{\Gamma}}^{\rho}_{\rho\nu}-{{\Gamma}}^{\rho}_{\nu\rho} ) \mathrm{g}^{(\mu\nu)} &=0, \tag2 \end{align}$

indem man Gleichung (1) einmal in Bezug auf ( $\mu,\rho$ ), dann in Bezug auf ( $\nu,\rho$ )?

Wo $\Gamma$ ist nicht symmetrisch in Bezug auf die niedrigeren Indizes.

Mein bisheriger Versuch, dieses Problem zu lösen, ist: Nun, beim Kontrahieren bezüglich μ und ρ erhalte ich:

- \frac{1}{2} g^{ρ v} Γ_{a ρ}^{a} - \frac{1}{2} g^{ρ v} Γ_{ρ a}^{a} + g^{a v} Γ_{a ρ}^{ρ} + g^{ρ a} Γ_{ρ a}^{v} + g_{, ρ}^{ρ v} = 0

$-\frac{1}{2} g^{\rho \nu } {\Gamma} _{a\rho}^{a}-\frac{1}{2} g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho a}^{a}+g^{a\nu} \Gamma _{a\rho}^{\rho}+g^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\nu}+g_{,\rho}^{\rho\nu}=0$ und wenn ich mich bezüglich nu und ρ zusammenziehe, bekomme ich:

- \frac{1}{2} g^{μ ρ} Γ_{a ρ}^{a} - \frac{1}{2} g^{μ ρ} Γ_{ρ a}^{a} + g_{}^{a ρ} Γ_{a ρ}^{μ} + g^{μ a} Γ_{ρ a}^{ρ} + g_{, ρ}^{μ ρ} = 0

$-\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a-\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \Gamma _{\rho a}^a+g_{}^{a\rho } \Gamma _{a\rho}^{\mu }+g^{\mu a} \Gamma _{\rho a}^{\rho }+g_{,\rho }^{\mu \rho }=0$ Wenn ich diese beiden Gleichungen subtrahiere, bekomme ich:

\frac{1}{2} g_{}^{μ ρ} Γ_{a ρ}^{a} - \frac{1}{2} g_{}^{ρ v} Γ_{a ρ}^{a} + \frac{1}{2} g_{}^{μ ρ} Γ_{ρ a}^{a} - \frac{1}{2} g_{}^{ρ v} Γ_{ρ a}^{a} + g_{}^{a v} Γ_{a ρ}^{ρ} - g_{}^{a ρ} Γ_{a ρ}^{μ} - g_{}^{μ a} Γ_{ρ a}^{ρ} + g_{}^{ρ a} Γ_{ρ a}^{v} - g_{, ρ}^{μ ρ} + g_{, ρ}^{ρ v} = 0

$\frac{1}{2} g_{}^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho }^a-\frac{1}{2} g_{}^{\rho \nu } \Gamma _{a\rho }^a+\frac{1}{2} g_{}^{\mu \rho } \Gamma _{\rho a}^a-\frac{1}{2} g_{}^{\rho \nu } \Gamma _{\rho a}^a+g_{}^{a\nu } \Gamma _{a\rho }^{\rho }-g_{}^{a\rho } \Gamma _{a\rho }^{\mu }-g_{}^{\mu a} \Gamma _{\rho a}^{\rho }+g_{}^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\nu }-g_{,\rho }^{\mu \rho }+g_{,\rho }^{\rho \nu }=0$ Ich kann nicht sehen, wie dies gleich Gleichung (2) ist

Shiva

Ich denke, das ist eine berechtigte Frage für praktizierende Physiker. @OP: Erklären Sie ein wenig mehr darüber, was Sie versucht haben. Im Allgemeinen raten wir Leuten davon ab, HW-Lösungen von dieser phy.SE zu schleppen.

Benutzer38032

Nun, das ist keine Hausaufgabe, sondern nur eine Gleichung, die ich in Schrödingers Buch "Raum-Zeit-Struktur" gefunden habe.

Emilio Pisanty

Ich neige dazu, Shiva zuzustimmen. Sehen Sie sich die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Symbole an, wenn Sie die beiden kontrahierten Versionen von Gleichung (1) subtrahieren.

QMechaniker

Hallo user38032. Willkommen bei Phys.SE. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben -Tags und die Phys.SE - Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

Benutzer38032

Schau, ich habe schon gesagt, dass das keine Hausaufgabe ist.

Benutzer38032

Diese Gleichungen sind in Schrödingers Buch „Raum-Zeit-Struktur“, Seite 110, und ich wollte nur wissen, wie man von (1) zu (2) kommt, also wenn Sie die Antwort nicht kennen, hören Sie auf, diese nutzlosen Kommentare über dieses Wesen zu hinterlassen ein Hausaufgabenproblem.

Muphrid

Ich bin mir nicht so sicher über den ersten Punkt der Hausaufgaben-ähnlichen Fragenpolitik – dass die Frage ausreichend konzeptionell ist – aber es scheint mir, dass selbst wenn diese Frage diesen Test besteht, ohne irgendeine Art von Versuch, Arbeit zu zeigen Sie selbst, diese Frage wird wahrscheinlich in der Warteschleife bleiben und letztendlich geschlossen werden.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Die Richtlinie für hausaufgabenähnliche Fragen wird nicht angewendet, weil die Fragen als Hausaufgaben zugewiesen wurden, sondern weil der Hauptwert dieser Frage pädagogisch zu sein scheint (das heißt, sie sind die Art von Fragen, die dem Schüler gestellt werden, weil sie eine bestimmte Fähigkeit oder einen bestimmten Punkt vermitteln ).

Dehnung

@Dmckee nette Antworten auf solche Fragen sind äußerst wertvoll für Leute, die das Thema auf technischer Ebene studieren möchten. IMHO ist es eine gültige technische Frage, und die geschlossene Schleife geschlossener Fragen ist überhaupt keine gute Sache. Einer von ihnen sollte offen sein und eine nette Antwort bekommen dürfen, die sicherlich nicht nur die Leute schätzen würden, die die Frage positiv bewertet haben.

QMechaniker

Beachten Sie, dass (i) die beiden entsprechenden Gl. (12.14) und (12.15) in dem Buch E. Schrödinger, Space Time Structure, haben Sternchen auf der

Γ^{λ}_{μ ν}

$\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu}$ Symbole. Dies ist in Gl. (12.12). (ii) Außerdem sind die metrischen Tensoren in Gothic geschrieben, was sich auf einen impliziten Quadratwurzelfaktor bezieht. (iii) Und schließlich wird keine Symmetrie für den metrischen Tensor und die angenommen

Γ^{λ}_{μ ν}

$\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu}$ Symbole.

Antworten (1)

Contracting-Indizes

Ich denke, das ist eine berechtigte Frage für praktizierende Physiker. @OP: Erklären Sie ein wenig mehr darüber, was Sie versucht haben. Im Allgemeinen raten wir Leuten davon ab, HW-Lösungen von dieser phy.SE zu schleppen.
Nun, das ist keine Hausaufgabe, sondern nur eine Gleichung, die ich in Schrödingers Buch "Raum-Zeit-Struktur" gefunden habe.
Ich neige dazu, Shiva zuzustimmen. Sehen Sie sich die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Symbole an, wenn Sie die beiden kontrahierten Versionen von Gleichung (1) subtrahieren.
Hallo user38032. Willkommen bei Phys.SE. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben -Tags und die Phys.SE - Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.
Schau, ich habe schon gesagt, dass das keine Hausaufgabe ist.
Diese Gleichungen sind in Schrödingers Buch „Raum-Zeit-Struktur“, Seite 110, und ich wollte nur wissen, wie man von (1) zu (2) kommt, also wenn Sie die Antwort nicht kennen, hören Sie auf, diese nutzlosen Kommentare über dieses Wesen zu hinterlassen ein Hausaufgabenproblem.
Ich bin mir nicht so sicher über den ersten Punkt der Hausaufgaben-ähnlichen Fragenpolitik – dass die Frage ausreichend konzeptionell ist – aber es scheint mir, dass selbst wenn diese Frage diesen Test besteht, ohne irgendeine Art von Versuch, Arbeit zu zeigen Sie selbst, diese Frage wird wahrscheinlich in der Warteschleife bleiben und letztendlich geschlossen werden.
Die Richtlinie für hausaufgabenähnliche Fragen wird nicht angewendet, weil die Fragen als Hausaufgaben zugewiesen wurden, sondern weil der Hauptwert dieser Frage pädagogisch zu sein scheint (das heißt, sie sind die Art von Fragen, die dem Schüler gestellt werden, weil sie eine bestimmte Fähigkeit oder einen bestimmten Punkt vermitteln ).
@Dmckee nette Antworten auf solche Fragen sind äußerst wertvoll für Leute, die das Thema auf technischer Ebene studieren möchten. IMHO ist es eine gültige technische Frage, und die geschlossene Schleife geschlossener Fragen ist überhaupt keine gute Sache. Einer von ihnen sollte offen sein und eine nette Antwort bekommen dürfen, die sicherlich nicht nur die Leute schätzen würden, die die Frage positiv bewertet haben.
Beachten Sie, dass (i) die beiden entsprechenden Gl. (12.14) und (12.15) in dem Buch E. Schrödinger, Space Time Structure, haben Sternchen auf der $\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu}$ Symbole. Dies ist in Gl. (12.12). (ii) Außerdem sind die metrischen Tensoren in Gothic geschrieben, was sich auf einen impliziten Quadratwurzelfaktor bezieht. (iii) Und schließlich wird keine Symmetrie für den metrischen Tensor und die angenommen $\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu}$ Symbole.

Zoltan Zimboras · Answer 1

Der Versuch des Erhaltens

g_{, v}^{[μ v]} + \frac{1}{2} (Γ_{ρ v}^{ρ} - Γ_{v ρ}^{ρ}) g^{(μ v)} = 0,

$g^{[\mu\nu]}_{,\nu} +\frac{1}{2}( {{\Gamma}}^{\rho}_{\rho\nu}-{{\Gamma}}^{\rho}_{\nu\rho} ) g^{(\mu\nu)} =0,$ war fast richtig! Das einzige, was fehlte, war ein wenig Sorgfalt bei der Umbenennung von Indizes. Wir werden in drei Hauptschritten vorgehen.

1.) Bei Kontraktion von Gl. (1) in Bezug auf $\mu$ und $\rho$ , erhalten wir die Identität:

- \frac{1}{2} g^{ρ v} Γ_{a ρ}^{a} - \frac{1}{2} g^{ρ v} Γ_{ρ a}^{a} + g^{a v} Γ_{a ρ}^{ρ} + g^{ρ a} Γ_{ρ a}^{v} + g_{, ρ}^{ρ v} = 0.

$-\frac{1}{2} g^{\rho \nu } {\Gamma} _{a\rho}^{a}-\frac{1}{2} g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho a}^{a}+g^{a\nu} \Gamma _{a\rho}^{\rho}+g^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\nu}+g_{,\rho}^{\rho\nu}=0.$

Jetzt durch Umbenennen der Dummy-Indizes im 3. Term als $a \leftrightarrow \rho$ , erhalten wir, dass der 3. Term geschrieben werden kann als $g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho a}^{a}$ . Außerdem können wir sehen, dass jetzt der 2. und 3. Term vereinfacht werden können: ihre Addition ergibt $+ \tfrac{1}{2}g^{\rho \nu} \Gamma _{\rho a}^{a}$ . Durch eine endgültige Änderung des Indexlabels $\nu \to \mu$ , wir bekommen das:

- \frac{1}{2} g^{ρ μ} Γ_{a ρ}^{a} + \frac{1}{2} g^{ρ μ} Γ_{ρ a}^{a} + g^{ρ a} Γ_{ρ a}^{μ} + g_{, ρ}^{ρ μ} = 0. (EIN)

$-\frac{1}{2} g^{\rho \mu } {\Gamma} _{a\rho}^{a}+\frac{1}{2} g^{\rho \mu} \Gamma _{\rho a}^{a}+g^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\mu}+g_{,\rho}^{\rho\mu}=0. \; \; \; \; (A)$

2.) Bei Kontraktion von Gl. (1) in Bezug auf $\nu$ und $\rho$ , erhalten wir die Identität:

- \frac{1}{2} g^{μ ρ} Γ_{a ρ}^{a} - \frac{1}{2} g^{μ ρ} Γ_{ρ a}^{a} + g_{}^{a ρ} Γ_{a ρ}^{μ} + g^{μ a} Γ_{ρ a}^{ρ} + g_{, ρ}^{μ ρ} = 0.

$-\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a-\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \Gamma _{\rho a}^a+g_{}^{a\rho } \Gamma _{a\rho}^{\mu }+g^{\mu a} \Gamma _{\rho a}^{\rho }+g_{,\rho }^{\mu \rho }=0.$

Benennen wir auch die Dummy-Indizes im 4. Term um in $a \leftrightarrow \rho$ . Wir können jetzt sehen, dass der 4. Term einfach ist $g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a$ , und der 1. und 4. Term ergeben somit zusammen $\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a$ . Darüber hinaus lassen Sie uns auch die durchführen $a \leftrightarrow \rho$ "dummy index relabeling", ergibt $g_{}^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\mu }$ für das 3. Semester. Nach diesen Manipulationen lautet unsere Identität wie folgt

\frac{1}{2} g^{μ ρ} Γ_{a ρ}^{a} - \frac{1}{2} g^{μ ρ} Γ_{ρ a}^{a} + g_{}^{ρ a} Γ_{ρ a}^{μ} + g_{, ρ}^{μ ρ} = 0. (B)

$\frac{1}{2} g^{\mu \rho } \Gamma _{a\rho}^a-\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \Gamma _{\rho a}^a+g_{}^{\rho a} \Gamma _{\rho a}^{\mu }+g_{,\rho }^{\mu \rho }=0. \; \; \; \; (B)$

3.) Mit (B)-(A) erhalten wir:

g_{, ρ}^{μ ρ} - g_{, ρ}^{ρ μ} + \frac{1}{2} (g^{μ ρ} + g^{μ ρ}) (Γ_{a ρ}^{a} - Γ_{ρ a}^{a}) = 0,

$g_{,\rho }^{\mu \rho } -g_{,\rho}^{\rho\mu} + \frac{1}{2}\left( g^{\mu \rho } + g^{\mu \rho }\right) \left( \Gamma _{a\rho}^a - \Gamma _{\rho a}^a \right)=0,$ was nach dem

a \to ρ

$a \to \rho$ und

ρ \to ν

$\rho \to \nu$ Relabeling ist genau dasselbe wie die gewünschte Gl. (2).

Ich verstehe nicht, warum du umbenannt hast $\nu \to \mu$ in Ihrem ersten Schritt.
Du verstehst nicht, warum ich es getan habe oder warum ich es tun darf? Beides werde ich beantworten. 1) Warum habe ich es getan? Ich habe (B) vorher berechnet, und das habe ich danach gesehen $\nu \to \mu$ Beim Umbenennen erhalte ich eine Gl. (A), das von (B) subtrahiert wird, gibt mir die Gleichung, die Sie erhalten wollten. Warum darf ich das? Ohne das $\nu \to \mu$ Umbenennung würde ich bekommen $-\tfrac{1}{2} g^{\rho\nu}\Gamma_{a\rho}^{a}+\tfrac{1}{2} g^{\rho\nu} \Gamma_{\rho a}^{a}+g^{\rho a} \Gamma_{\rho a}^{\nu}+g_{,\rho}^{\rho\nu}=0$ , dem Sie wohl auch zustimmen. Jetzt $\nu$ kann ein beliebiger Index sein, also wähle ich einfach $\nu=\mu$ .
Ich verstehe nicht, warum man das darf. Wollen Sie damit sagen, dass Gleichung (2) nur gültig ist, wenn ν=μ?.
Nein! Gleichung (2) ist auch gültig, wenn $\nu\ne\mu$ , müssen Sie alle Umbenennungen verfolgen, die ich vorgenommen habe. Gehen wir langsamer. Vergessen Sie alle vorherigen Gleichungen und antworten Sie darauf: 1) Stimmen Sie zu, dass wenn $-\tfrac{1}{2} g^{\rho\nu}\Gamma_{a\rho}^{a}+\tfrac{1}{2} g^{\rho\nu}\Gamma_{\rho a}^{a}+g^{\rho a} \Gamma_{\rho a}^{\nu}+g_{,\rho}^{\rho\nu}=0$ gilt für alle $\nu\in\{0,1,2,3\}$ , dann auch $-\tfrac{1}{2} g^{\rho\mu}\Gamma_{a\rho}^{a}+\tfrac{1}{2} g^{\rho\mu} \Gamma_{\rho a}^{a}+g^{\rho a} \Gamma_{\rho a}^{\mu}+g_{,\rho}^{\rho\mu}=0$ gilt für alle $\mu\in\{0,1,2,3\}$ ? Es ist derselbe Satz von Gleichungen.
@ user38032 Denken Sie also über meine vorherige Frage nach. Nachdem Sie geantwortet haben, machen wir den nächsten Schritt.
Toll, dass du den vorherigen Punkt gesehen hast! Jetzt sind wir fast da. Dem stimmst du also zu $-\frac{1}{2}g^{\rho\mu}\Gamma_{a\rho}^{a}+\frac{1}{2}g^{\rho\mu}\Gamma _{\rho a}^{a}+g^{\rho a}\Gamma_{\rho a}^{\mu}+g_{,\rho}^{\rho\mu}=0$ (gilt für alle $\mu \in \{0,1,2,3\}$ . Dann meine nächste Frage: Stimmen Sie auch meiner Herleitung in Punkt (2) meiner Antwort zu $\frac{1}{2}g^{\mu\rho}\Gamma_{a\rho}^{a}-\frac{1}{2}g^{\mu\rho}\Gamma _{\rho a}^{a}+g^{\rho a}\Gamma_{\rho a}^{\mu}+g_{,\rho}^{\mu\rho}=0$ gilt für alle $\mu \in \{0,1,2,3\}$ ? Wenn ja, subtrahieren Sie die beiden Gleichungen und geben Sie mir die Antwort.

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