Zwei Robertson-Walker-Beobachter, wann wird ein Lichtsignal empfangen?

Obwohl die strahlungsdominierte (RD) Ära im Vergleich zur materiedominierten (MD) und$\Lambda$-dominiert ($\Lambda$D) Epochen, es ist schön, eine Antwort zu haben, die leicht für jede kosmologische Epoche angepasst werden kann. Wenn wir davon ausgehen, dass das Universum von einer perfekten Flüssigkeit durchdrungen ist , können wir die Zustandsgleichung verwenden

Wo$P$ist der Druck und$\rho$die Energiedichte. Die beiden Friedmann-Gleichungen (oder die Erhaltung des Spannungs-Energie-Tensors$\nabla_{\mu} T^{\mu \nu}=0$) Gib uns

wofür gelöst werden kann$\rho$in Bezug auf den Skalierungsfaktor$a(t)$als

Wo$a_0$ist heute der Skalierungsfaktor (und wir werden festlegen$a_0 = 1$ab jetzt) ​​und$\rho_0$ist die Gesamtenergiedichte des heutigen Universums. Das Zurücksetzen in die erste Friedmann-Gleichung ergibt dann$a(t)$als

Wo$A$ist eine schreckliche Konstante, die ich berechnet habe$A = (8 \pi G/3)^{1/3(1+w)}$und ich habe angenommen, dass zu einem 'Anfangszeitpunkt'$t_i = 0$, war der Wert des Skalierungsfaktors$a_i = 0$.

Nun betrachten wir das Photon. Wie in meiner Antwort hier folgt das Photon einer radialen Geodäte in der FRW-Raumzeit. In einem flachen Universum , wie Sie es angegeben haben, haben wir

für ein Photon. Wir können einen Ursprung definieren$(0,0,0)$und von dort ein Photon zu einem beliebigen Punkt in radialer Entfernung senden$r = x$. Sie haben angegeben$(x,0,0)$Da das Universum jedoch homogen und isotrop ist, wird jeder dieser Punkte dieselbe Antwort liefern. Unter Verwendung des Photonenlinienelements ist dies

Nun verwenden wir den Ausdruck for$a(t)$bezüglich$t$Und$w$die wir zuvor hergeleitet haben, bewerten die Integrale hinsichtlich$x$Und$t$, und einstellen$T_1 = 0$damit wir sehen können, was vor sich geht, ankommen

mit dem zuvor angegebenen Wert von$A$.

RD-Ära ($w = 1/3$): Ersetzen Sie diesen Wert von$w$wir finden

Wenn wir also unendlich viel Zeit haben, können wir ein Signal in die Unendlichkeit senden.

MD-Ära ($w = 0$): Ersetzen Sie diesen Wert von$w$wir finden

Also können wir wieder ein Signal ins Unendliche senden, aber es wird dauern$O(x)$länger als in der RD-Ära. Dies liegt daran, dass sich das Universum schneller ausdehnt, als$a(t) \propto t^{2/3}$statt$a(t) \propto t^{1/2}$in der RD-Ära.

$\Lambda$D-Ära ($w \rightarrow -1$): Für diesen Fall ist es besser zu schreiben$x$bezüglich$a$, in diesem Fall erhalten wir

Das heißt, wenn das Universum im Dunkelenergie-Regime wächst, beschleunigt sich seine Expansion, so dass die Region, über die wir kommunizieren können, schrumpft! Wenn wir jetzt ein Photon aussenden, wird die maximale Entfernung, die es in unendlicher Zeit erreichen kann, größer sein, als wenn wir morgen ein Photon aussenden. Dies ist das Phänomen der schrumpfenden Hubble-Sphäre und bedeutet, dass, wenn das Universum weiterhin von dunkler Energie dominiert wird, wie es jetzt der Fall ist, das beobachtbare Universum schrumpfen wird, bis wir nur noch die nächsten astronomischen Objekte sehen können.

In der geometrisch-optischen Näherung wird der Lichtstrahl durch eine Null-Geodäte dargestellt. Daher müssen Sie nur einen geodätischen Nullpunkt finden$(t_0,0,0,0)$Und$(t_1,x,0,0)$für einige$t_1$(und diese Bedingung wird bestimmen$t_1$einmalig). Dies ist in diesem Fall wahrscheinlich recht einfach direkt durchzuführen, aber im Allgemeinen zur Untersuchung von Nullkurven in der FLRW-Raumzeit konforme Zeit definiert$\mathrm d \eta = \frac{\mathrm d T}{a(T)}$(mit$a(T)=T^{1/2}$in Ihrem Fall) ist besonders praktisch.

Dazu müssen Sie den zukünftigen Lichtkegel berechnen

In sich bewegenden Koordinaten teilen Sie das durch den Skalierungsfaktor der Zeit bei der Absorption

mit H als Hubble-Parameter

und c die Lichtgeschwindigkeit, t0 die Emissionszeit und t1 die Absorptionszeit.

Wenn Sie die Strahlungsdichte vernachlässigen, können Sie verwenden

Dies vereinfacht die Gleichung ein wenig und gibt gute Annäherungen, wenn Sie nicht zu weit in der Zeit zurückgehen, aber der Lichtkegel ist immer noch ein Integral ohne explizite Umkehrfunktion.

Dies führt zu einer numerischen Berechnung ohne analytische Lösung. Die genaue Berechnung ist etwas lang, wenn man Materie, dunkle Energie und Strahlung berücksichtigt, also verzeihen Sie, dass ich nicht alles in Latex übersetzen werde.

Wenn ich die kosmologischen Parameter der Planck-Mission nehme und zum Beispiel berechne, wie lange ein Photon braucht, um in eine Entfernung zu reisen, die jetzt 1 Gigalichtjahr entfernt ist, braucht Licht 1,036 Gigajahre, um dorthin zu gelangen. Wenn die Entfernung heute 10 Gigalichtjahre entfernt ist, braucht das Licht 15,736 Gigajahre, bis es diese Koordinate erreicht:

Da sich der Hubble-Parameter mit der Zeit entwickelt, hängt er nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch von der Zeit, zu der das Photon emittiert wird.

Leider muss dies alles numerisch gelöst werden, daher kann ich Ihnen keine explizite Lösung für geben$t_1(LC_{comoving})$, aber zumindest kann ich Ihnen zeigen, wie Sie diese Lösung mit einem Computer lösen können.

Ich hoffe, das hilft trotzdem, wenn etwas mit dem Code unklar ist, frag ruhig. Vielleicht hilft es auch, sich die Raumzeitdiagramme hier und hier anzusehen .