Beweisen Sie, dass die Verbindung mit der Metrik kompatibel ist

Question

Beweisen Sie, dass die Verbindung mit der Metrik kompatibel ist

Herr Schrödinger

Ich versuche zu zeigen, dass die Verbindung mit der Metrik kompatibel ist, dazu muss ich auswerten

\nabla_{σ} G^{μ v} = \partial_{σ} G^{μ v} + Γ_{σ λ}^{μ} G^{λ v} + Γ_{σ λ}^{v} G^{μ λ} = 0.

$\nabla_{\sigma} g^{\mu \nu} = \partial_{\sigma}g^{\mu \nu} +\Gamma^{\mu}_{\sigma \lambda}g^{\lambda \nu}+\Gamma^{\nu}_{\sigma \lambda}g^{\mu \lambda} = 0.$

Die Raumzeit, die ich betrachte, ist das folgende allgemeine statische kugelsymmetrische Linienelement

D S^{2} = - A (R) D T^{2} + B (R)^{- 1} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}) .

$ds^{2} = -A(r)dt^{2}+B(r)^{-1}+ r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta \ d\phi^{2}) \,\, .$

Was ist mein Fortschritt bis jetzt:

Ich muss die Christoffel-Symbole auswerten, also gehe ich zum Beispiel vor

Γ_{00}^{0} = - \frac{1}{2} A (R)^{- 1} (0 + 0 - 0) = 0,

$\Gamma^{0}_{00} = -\frac{1}{2}A(r)^{-1}(0+0-0) = 0 \,\, ,$

Mein Zweifel ist: Muss ich alle Komponenten der kovarianten Ableitung auswerten? $\nabla_{\sigma}g^{\mu \nu}$ soll die Verbindung mit der Metrik kompatibel sein?

Was ist die Beziehung zwischen dem freien Index $\sigma$ der kovarianten Ableitung und des freien Index $\lambda$ des Christoffel-Symbols? Beide reichen von 0 bis 3?

Meine Schwierigkeit liegt in der Auswertung jeder Komponente dieser Tensorgleichung, sobald es viele Indizes gibt, bin ich verwirrt, wie man die Auswertung dieser Komponenten durchführt? Könnten Sie mir das Verfahren zeigen, um mindestens eine Komponente als Beispiel zu bewerten?

Michael Seifert

Der Ausdruck, den Sie haben, ist falsch. Es sollte sein

\nabla_{σ} g^{μ ν} = \partial_{σ} g^{μ ν} + Γ^{μ}_{σ λ} g^{λ ν} + Γ^{ν}_{σ λ} g^{μ λ} .

$\nabla_\sigma g^{\mu \nu} = \partial_\sigma g^{\mu \nu} + \Gamma ^{\mu} {}_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} + \Gamma ^{\nu} {}_{\sigma \lambda} g^{\mu \lambda}.$

Herr Schrödinger

@MichaelSeifert Danke, ich werde die Frage aktualisieren, könntest du mir mit dem richtigen Ausdruck antworten? Ich würde gerne upvoten, wenn es eine gute Antwort ist!

Mason

@WaynerKlën Ich kann eine Antwort für Sie schreiben, aber Ihre Frage ist unvollständig. Haben Sie eine bestimmte Metrik, von der Sie die kovariante Ableitung nehmen möchten? Willst du das generell machen? Wenn Sie eine bestimmte Metrik haben, haben Sie die Christoffel-Symbole für diese Metrik bereits ausgearbeitet?

Herr Schrödinger

Hey @Mason, ich arbeite mit einer allgemeinen sphärischen Symmetrie

d s^{2} = - A (r) d t^{2} + B (r)^{- 1} d r^{2} + d Ω^{2}

$ds^{2} = -A(r)dt^{2}+B(r)^{-1}dr^{2}+d\Omega^{2}$ , Wo

d Ω^{2} = r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})

$d\Omega^{2} = r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2})$ . Ich habe in Christoffel-Symbolen gearbeitet, bin mir aber nicht sicher, ob ich alle oder nur einige davon berechnen muss, das liegt an den kostenlosen Indizes, eigentlich kann ich die freien Indizes der Christoffel-Symbole nicht abgleichen das von covariante derivat, macht das sinn für dich?

Mason

Ja, ich glaube, ich verstehe. Ich werde jetzt eine Antwort schreiben. Ich denke, Sie sollten Ihre Frage so bearbeiten, dass Sie entweder die Metrik angeben, mit der Sie arbeiten, oder einfach sagen: "Wie mache ich das, da ich bereits die Form der Metrik und der Christoffel-Symbole habe?"

Mason

@WaynerKlën Eigentlich bin ich mir aufgrund deines Kommentars nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe. Wissen Sie, wie man die Christoffel-Symbole berechnet? Wie, wenn ich dich fragen würde, was

Γ_{00}^{0}

$\Gamma^0_{00}$ war, könntest du es berechnen?

Herr Schrödinger

@Mason, ich werde meine Frage bearbeiten und alle Ihre Punkte angeben!

Herr Schrödinger

Lassen Sie uns diese Diskussion im Chat fortsetzen .

Antworten (1)

Beweisen Sie, dass die Verbindung mit der Metrik kompatibel ist

Der Ausdruck, den Sie haben, ist falsch. Es sollte sein $\nabla_\sigma g^{\mu \nu} = \partial_\sigma g^{\mu \nu} + \Gamma ^{\mu} {}_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} + \Gamma ^{\nu} {}_{\sigma \lambda} g^{\mu \lambda}.$
@MichaelSeifert Danke, ich werde die Frage aktualisieren, könntest du mir mit dem richtigen Ausdruck antworten? Ich würde gerne upvoten, wenn es eine gute Antwort ist!
@WaynerKlën Ich kann eine Antwort für Sie schreiben, aber Ihre Frage ist unvollständig. Haben Sie eine bestimmte Metrik, von der Sie die kovariante Ableitung nehmen möchten? Willst du das generell machen? Wenn Sie eine bestimmte Metrik haben, haben Sie die Christoffel-Symbole für diese Metrik bereits ausgearbeitet?
Hey @Mason, ich arbeite mit einer allgemeinen sphärischen Symmetrie $ds^{2} = -A(r)dt^{2}+B(r)^{-1}dr^{2}+d\Omega^{2}$ , Wo $d\Omega^{2} = r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2})$ . Ich habe in Christoffel-Symbolen gearbeitet, bin mir aber nicht sicher, ob ich alle oder nur einige davon berechnen muss, das liegt an den kostenlosen Indizes, eigentlich kann ich die freien Indizes der Christoffel-Symbole nicht abgleichen das von covariante derivat, macht das sinn für dich?
Ja, ich glaube, ich verstehe. Ich werde jetzt eine Antwort schreiben. Ich denke, Sie sollten Ihre Frage so bearbeiten, dass Sie entweder die Metrik angeben, mit der Sie arbeiten, oder einfach sagen: "Wie mache ich das, da ich bereits die Form der Metrik und der Christoffel-Symbole habe?"
@WaynerKlën Eigentlich bin ich mir aufgrund deines Kommentars nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe. Wissen Sie, wie man die Christoffel-Symbole berechnet? Wie, wenn ich dich fragen würde, was $\Gamma^0_{00}$ war, könntest du es berechnen?
@Mason, ich werde meine Frage bearbeiten und alle Ihre Punkte angeben!

Mason · Answer 1

Angesichts einer Metrik und der Christoffel-Symbole wollen wir das zeigen

\nabla_{σ} G^{μ v} = \partial_{σ} G^{μ v} + Γ_{σ λ}^{μ} G^{λ v} + Γ_{σ λ}^{v} G^{μ λ} = 0

$\begin{equation} \nabla_\sigma g^{\mu \nu} = \partial_\sigma g^{\mu \nu} + \Gamma^\mu_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} + \Gamma^\nu_{\sigma \lambda} g^{\mu \lambda} = 0 \end{equation}$

Erstens, wenn wir wollen, können wir unser Leben hier einfach machen, indem wir das bemerken $g^{\mu \nu} = g^{\nu \mu}$ und daher brauchen wir das eigentlich nur zu zeigen

\partial_{σ} G^{μ v} + 2 Γ_{σ λ}^{μ} G^{λ v} = 0 .

$\begin{equation} \partial_\sigma g^{\mu \nu} + 2 ~\Gamma^\mu_{\sigma \lambda} g^{\lambda \nu} = 0~~. \end{equation}$

Ich denke jedoch, dass Sie wahrscheinlich mehr Anweisungen zur Indexnotation wünschen, daher werde ich diese Vereinfachung nicht vornehmen.

Nehmen wir also an, Sie möchten die berechnen $0,0,0$ Bestandteil dieses Tensors, dh wir setzen $\sigma = \mu = \nu = 0$ also haben wir

\nabla_{0} G^{00} = \partial_{0} G^{0} + Γ_{0 λ}^{0} G^{λ 0} + Γ_{0 λ}^{0} G^{0 λ} .

$\begin{equation} \nabla_0 g^{00} = \partial_0 g^{0} + \Gamma^0_{0 \lambda} g^{\lambda 0} + \Gamma^0_{0 \lambda} g^{0 \lambda}~. \end{equation}$

Aber jetzt haben wir zwei Sätze von sich wiederholenden Indizes, also müssen wir beide unabhängig summieren, also machen wir es so

\begin{aligned} \nabla_{0} G^{00} & = \partial_{0} G^{0} + Γ_{00}^{0} G^{00} + Γ_{01}^{0} G^{10} + Γ_{02}^{0} G^{02} + Γ_{03}^{0} G^{03} + Γ_{0 λ}^{0} G^{0 λ} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_0 g^{00} &= \partial_0 g^{0} + \Gamma^0_{0 0}g^{00} + \Gamma^0_{0 1}g^{10} + \Gamma^0_{0 2}g^{02} + \Gamma^0_{0 3}g^{03} + \Gamma^0_{0 \lambda} g^{0 \lambda} \end{align}$ Jetzt haben wir nur noch einen Satz kontrahierter Indizes, also erweitern wir diese ebenfalls

\begin{aligned} \nabla_{0} G^{00} = \partial_{0} G^{00} + Γ_{00}^{0} G^{00} + Γ_{01}^{0} G^{10} + Γ_{02}^{0} G^{20} + Γ_{03}^{0} G^{30} + Γ_{00}^{0} G^{00} + Γ_{01}^{0} G^{01} + Γ_{02}^{0} G^{02} + Γ_{03}^{0} G^{03} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_0 g^{00} = \partial_0 g^{00} + \Gamma^0_{0 0}g^{00} + \Gamma^0_{0 1}g^{10} + \Gamma^0_{0 2}g^{20} + \Gamma^0_{0 3}g^{30} + \Gamma^0_{0 0}g^{00} + \Gamma^0_{0 1}g^{01} + \Gamma^0_{0 2}g^{02} + \Gamma^0_{0 3}g^{03} \end{align}$

Nun sind alle Komponenten gegeben $\mathbf{\Gamma}$ Und $\mathbf{g}$ Wir können die Zahlen einsetzen und zeigen, dass dies (hoffentlich) zu Null ausgewertet wird! Dies kann nun für jeden Wert von wiederholt werden $\sigma,~ \mu$ Und $\nu$ .

Ich hoffe, das hilft, wenn nicht oder wenn Sie noch etwas klären möchten, fragen Sie bitte!

Bearbeiten:

Ich habe gerade Ihre Bearbeitung gesehen, also beantworte ich diese zusätzlichen Fragen hier:

Muss ich alle Komponenten der kovarianten Ableitung [der Metrik für] auswerten, damit die Verbindung mit der Metrik kompatibel ist?

Ja, ich glaube schon.

Welche Beziehung besteht zwischen dem freien Index σ der kovarianten Ableitung und dem freien Index λ des Christoffel-Symbols? Beide reichen von 0 bis 3?

Die beiden Indizes sind effektiv unabhängig. $\lambda$ ist ein Dummy-Index, der ein Skalarprodukt zwischen dem Christoffel-Symbol und der (inversen) Metrik bezeichnet.

Fehlt da nicht ein weiterer Index in der partiellen Ableitung des metrischen Tensors, dh sollte es nicht sein? $\partial_{0}g^{00}$ ?
@HerrSchrödinger Ja, du hast Recht. Nur ein Tippfehler! Abgesehen davon, macht das Sinn?
Ja, es macht Sinn! Mittlerweile ist es nur noch das! Danke @Mason!
Ich habe meine Antwort übrigens als Reaktion auf Ihr Update aktualisiert

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