Wie kann man beweisen, dass ein Null-Weyl-Tensor keine Lichtablenkung vorhersagt?

Im Sonnensystem gibt es außerhalb der Sonne nur ein schwaches Gravitationsfeld. Aus praktischen Gründen können Sie die Metrik also auf die erste Ordnung erweitern$\epsilon$(und ich denke, warum haben Sie diesen Parameter in der Definition),

$$g_{\mu\nu} = e^{-\Phi }\eta_{\mu\nu} = e^{-\epsilon\phi} \eta_{\mu\nu} \approx -(1-\epsilon\phi) dt^2 + (1-\epsilon\phi ) (dx^2 +dy^2 + dz^2 )$$ Beachten Sie, dass der räumliche Teil der Störungsmetrik die entgegengesetzte Seite zur linearisierten Einstein-Theorie hat. Das ist genau der Grund, warum Sie kein leichtes Biegen haben. Es ist eine gute Übung, da die Herleitung völlig parallel zur üblichen linearisierten Theorie verläuft, siehe zB MTW, Aufgabe 18.6.

Das Ergebnis gilt jedoch sogar jenseits der linearen Ordnung. Sie wissen, dass die Bewegungsgleichung des Photons eine geodätische Gleichung ist,

$$\nabla_p p = 0$$

wo Schwung$p$ist der Tangentenvektor der geodätischen Kurve und für Photon ist es ein Nullvektor. Bei Komponenten,

$$\frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^{\mu} p^\nu \partial_{\nu} \Phi = 0$$ wobei ich die explizite Form der Verbindung verwendet habe und $p^{\mu}p_{\mu} =0$(bitte überprüfen).

Diese Gleichung kann integriert werden,

$$\frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^\mu \frac{d}{d\tau} \Phi = e^{\Phi} \frac{d}{d\tau}(e^{-\Phi} p^\mu) = 0$$ So $e^{-\Phi}p^\mu$Eine Konstante ist allein die Geodätische.

Nach dem Standardverfahren vergleichen wir 4-Impuls beim Senden und Empfangen; in beiden Fällen sind die Photonen sehr weit vom Stern im Zentrum entfernt und somit$\Phi \sim 0$. Daraus können wir schließen, dass sich der 4 Impuls im asymptotisch flachen Raum nicht ändert, also keine leichte Krümmung.

Sie können die MTW-Übung 7.1 lesen. Das ist ein Problem, das von einer Wirkung eines skalaren Gravitationsfeldes (Nordstorm-Theorie) ausgeht, und es gibt auch einige nützliche Hinweise und Kommentare im Text.

Hinzugefügt : Die konservierten Größen sind auf die vier konformen Killing-Vektoren zurückzuführen :$\partial_{\mu}$.

$$\mathcal{L}_{\partial_\mu} g = -\partial_{\mu}\Phi g$$ Lassen $\xi= \partial_\mu$, Dann $g(p,\xi)= p^\nu \xi_\nu$ist eine Erhaltungsgröße. Das ist, weil $$\nabla_p g(p,\xi) =(\nabla_p g)( p, \xi ) +g( \nabla_p p, \xi) + g(p, \nabla_p \xi ) = g(p, \nabla_p \xi )\\= g(p, [p,\xi] ) + g(p, \nabla_{\xi} p ) = - g( p, \mathcal{L}_{\xi} p ) + \frac{1}{2} \nabla_{\xi}g(p,p ) \\= -\frac{1}{2} \mathcal{L}_{\xi} g(p,p) + \frac{1}{2} (\mathcal{L}_{\xi} g)( p, p ) = -\partial_\mu \Phi g( p, p ) = 0$$

Das zeigt ein kurzer Check$p^\mu \xi_\mu = p^\mu e^{-\Phi }$sind nur das, was wir abgeleitet haben.