Schnellster Weg, um die Krümmungsterme aus einer bestimmten Metrik zu finden [geschlossen]

Ich möchte die kugelsymmetrischen, statischen Lösungen von Einsteins Gleichungen finden

R μ v − 1 2 R G μ v = 0

in vier Dimensionen mit der Metrik

G μ v D X μ D X v = − A ( R ) D T 2 + B ( R ) [ D R 2 + R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 ) ]

Meine Frage: Wie geht das am schnellsten? Ich eliminiere die Begriffe, indem ich die offensichtlichen Vereinfachungen wie "nur R Und θ Ableitungen können überleben" oder "metrische Elemente außerhalb der Diagonalen ergeben Null", aber es ist immer noch so langwierig und kompliziert. Es dauerte mehr als eine Stunde, bis ich das gefunden hatte T T Gleichung. Ich möchte also wissen, ob es einen schnelleren Weg gibt, mit dieser Art von Gleichungen umzugehen. Ich werde Ihnen dankbar sein, wenn Sie helfen können.

Ich kenne diese Methode, obwohl ich sie bei der Berechnung der tt-Gleichung nicht verwendet habe. Also, ist das der beste Weg, das zu tun?
Die Leute werden den ganzen Tag darüber streiten, wie man den Ricci-Tensor am besten berechnet. Ich denke, Cartan ist schneller als die Standardmethode. Einige verwenden die Null-Tetrade-Methode. Es ist wirklich subjektiv.
In Ordnung, dann werde ich es versuchen, indem ich die Gleichungen von Cartan verwende. Danke für die Hilfe.
Wenn Sie dies mehr als einmal tun möchten, sollten Sie erwägen, ein Computeralgebrasystem wie Maxima maxima.sourceforge.net oder seine Fensterversion wxMaxima andrejv.github.io/wxmaxima zu verwenden
@ 0celo7 Cartan ist definitiv das Beste, es sei denn, die Metrik hat eine ganz besondere Form, die durch ein paar clevere Argumente handhabbar ist.
Danke euch beiden. Für diese muss ich meine Berechnungen im Anhang zeigen, also werde ich Cartans Gleichungen verwenden. Aber wenn danach noch etwas Ähnliches auftaucht, plane ich, Maxima, @m4r35n357, zu verwenden. Danke nochmal.

Antworten (1)

Ich würde empfehlen, Mathematica zu verwenden, um Krümmungen zu berechnen, es sei denn, es gibt einen guten Grund, dies von Hand zu tun (z. B. möchten Sie vielleicht die Krümmungen für eine Metrik berechnen, während Sie die Dimension allgemein halten). Es ist nicht schwer, dafür eigenen Code zu schreiben, und ich denke, es ist eigentlich eine nette Idee. Ich fand auch diesen Code sehr nützlich: http://www.inp.demokritos.gr/~sbonano/RGTC/ . Es ist gut genug, um auch mit differentiellen Formen umzugehen.

Die Lösung, die Sie für Ihren obigen Ansatz finden, ist die Schwarzschild-Lösung, aber Sie haben sie in nicht standardmäßigen Koordinaten geschrieben, die als isotrope Koordinaten bekannt sind. Der zweite Term in Klammern ist nur ein flacher Raum in sphärischen Koordinaten.

Wenn Sie die Krümmungen für eine einfache verzogene Produktmetrik wie diese von Hand berechnen, gibt es einen raffinierten Trick, den Sie anwenden können. Wenn Sie eine Weyl-Transformation durchführen,

D S ' 2 = Ω 2 D S 2 , mit Ω 2 = B − 1 ,

dann ist die resultierende Metrik sehr einfach:

D S ' 2 = − A B D T 2 + ∑ ich = 1 3 D j ich 2 ,

und die Krümmung dieser neuen Metrik ist sehr einfach zu berechnen, da es sich um ein direktes Produkt handelt (und eines der Produkte der flache Raum ist!). Wenn Sie dann die Weyl-Transformationsformel für den Krümmungstensor verwenden, können Sie die Krümmung für die ursprüngliche Metrik finden D S 2 . Diese Formel kann in jedem GR-Lehrbuch gefunden werden.

Danke schön. Eigentlich bin ich nicht gut in Computersoftware, also sollte ich viel Zeit damit verbringen, sie zu lernen. In Anbetracht meines Zeitmangels entscheide ich mich für die Berechnung per Hand. Außerdem sollte ich die meisten meiner schriftlichen Arbeiten zeigen. Aber ich werde ernsthaft an die von Ihnen erwähnte Weyl-Transformationsmethode denken, sie ist etwas Neues für mich und scheint einfach und nützlich zu sein. Vielen Dank.
Schnellster Weg, um die Krümmungsterme aus einer bestimmten Metrik zu finden [geschlossen]
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