Rindlerraum und Tensoren

Wie können wir sofort sehen, dass der Riemann-Tensor und der Ricci-Tensor im Rindler-Raum Null sind?

Ich weiß, dass die Rindler-Metrik gegeben ist durch:

− D S 2 = − A 2 X 2 D T 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2

und was ich gerade getan habe, war, den Christoffels- und dann den Riemann- und den Ricci-Tensor gemäß der üblichen Definition zu berechnen, was mir Null ergab.

Allerdings soll man sofort sehen, dass sie verschwinden. Warum?

Ich muss zugeben, dass ich, als ich damit konfrontiert wurde, genau dasselbe tat wie Sie.
@JohnRennie Ja, aber angeblich gibt es eine Möglichkeit, dies zu sehen, ohne Berechnungen durchzuführen
Rindler-Koordinaten sind nur ein Satz von Koordinaten zur Beschreibung des Minkowski-Raums. Da der Minkowski-Raum flach ist, verschwinden seine Krümmungstensoren in allen Koordinatensystemen.
Tatsächlich ist dies der offensichtliche Grund, warum Krümmungen im Rindler-Raum verschwinden: Er ist nur ein Teil des Minkowski-Raums und Krümmungen sind Tensoren. Ich dachte, das OP wollte eine andere, sagen wir direktere Antwort.

Antworten (1)

Es ist offensichtlicher, wenn Sie mit dem Tetradenformalismus vertraut sind. Aus der bereitgestellten Metrik können wir eine orthonormale Basis definieren, indem wir einfach ablesen, e ( T ) = A X D T Und e ( ich ) = D X ich .

Jetzt alle D e ( ich ) = 0 , Und D e ( T ) = − A D T ∧ D X = − 1 X e ( T ) ∧ e ( X ) was bedeutet, dass die einzige Nicht-Null-Verbindung ist ω X T = − A D T was eine Konstante ist und so R = D ω + ω ∧ ω = 0 .

Es ist einfach, jede Funktion mit einer einzigen Variablen zu ersetzen A 2 X 2 führt zu einer verschwindenden Krümmung.

Könnte es auch einen Weg geben, ohne diesen Tetraden-Formalismus zu verwenden? Ich habe es vorher noch nie gesehen und es ist nicht Teil des Materials, das ich behandle
Die Notation e T sieht so aus, als würden Sie die Exponentialfunktion verwenden (zumindest auf den ersten Blick für mich). Womöglich e T wäre besser, bzw e ( T ) ...
In Bezug auf das "unmittelbare" Verständnis: Ich denke, das liegt daran, dass die Metrik konisch ist und wir alle wissen, dass Kegel flach sind (erwarten Sie an diesem Punkt).
@JEB Das hört sich ganz gut an, warum genau ist Rindler konisch?
@ Danu Einverstanden, dass es seltsam aussehen kann; e T passt aber nicht so ganz wie das vielbein ist e μ A und der orthonormale Index unten hat eine andere Bedeutung. Ich gehe mit e ( T ) .
@Alan Youngson: Es war eine Vermutung, also habe ich nach einem Kegel gesucht und ihn bekommen D S 2 = X 2 D j 2 + D X 2 , die wie eine euklidische 2D-Version der Rindler-Metrik aussieht.
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