Wie finde ich die Null-Geodäten?

Question

Wie finde ich die Null-Geodäten?

gbd

Die folgende Metrik wurde in [ Raumzeit-Perspektive der Schwarzschild-Linse ] berücksichtigt.

$ds^{2}=2f du^{2}-\frac{2}{l^{2}} du dl-\frac{1}{2l^{2}}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta\, d\phi^{2})$

Die Autoren gaben Null-Geodäten für diese Metrik als an

Wo $A,B,C$ sind drei erste Integrale der Nullgeodäten.

Ich bin mir nicht sicher, wie die Autoren auf die obigen Gleichungen gekommen sind, da nach meinem Verständnis die Null-Geodäten durch die Gleichung gegeben sind $g_{\mu\nu}\frac{dx_{\mu}}{dt}\frac{dx_{\nu}}{dt}=0$ aber ich kann nicht sehen, wie man die obigen Gleichungen daraus bekommen kann.

Weiß jemand, wie die Autoren auf die obigen Gleichungen gekommen sind?

Danu

Bitte tippen Sie die Gleichungen aus, anstatt Bilder zu verwenden. Es ist klar, dass Sie bereits wissen, wie man MathJax verwendet, also tun Sie dies bitte konsequent.

gbd

@Danu, ich versuche nur genau zu zeigen, wie die Autoren die Gleichungen präsentiert haben.

Danu

Ich weiß, dass; Ich sage nur, dass du alle deine Gleichungen abtippen solltest ;)

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Wie finde ich die Null-Geodäten?

Bitte tippen Sie die Gleichungen aus, anstatt Bilder zu verwenden. Es ist klar, dass Sie bereits wissen, wie man MathJax verwendet, also tun Sie dies bitte konsequent.
@Danu, ich versuche nur genau zu zeigen, wie die Autoren die Gleichungen präsentiert haben.
Ich weiß, dass; Ich sage nur, dass du alle deine Gleichungen abtippen solltest ;)

Danu · Answer 1

Die Gleichung, die Sie auflisten

G_{μ v} \partial_{τ} X^{μ} \partial_{τ} X^{v} = 0

$g_{\mu\nu}\partial_\tau x^\mu\partial_\tau x^\nu=0$ von allen Nulltrajektorien erfüllt ist. Eine Null-Geodäte muss jedoch auch die geodätische Gleichung erfüllen

\partial_{τ}^{2} X^{μ} + Γ_{v ρ}^{μ} \partial_{τ} X^{v} \partial_{τ} X^{ρ} = 0

$\partial^2_\tau x^\mu +\Gamma^\mu_{\nu\rho}\partial_\tau x^\nu\partial_\tau x^\rho=0$ Diese beiden Gleichungen zusammengenommen sollten ausreichen, um die Nullgeodäten zu bestimmen. Der

Γ

$\Gamma$ Symbole sind im Prinzip leicht zu berechnen, entweder von Hand oder mit einem Computeralgebraprogramm.

Da die Ergebnisse in der Arbeit durch Differentialgleichungen erster Ordnung gegeben sind, während die geodätische Gleichung zweiter Ordnung ist, muss man einmal integrieren (dies erklärt das Vorhandensein der Integrationskonstanten $A,B,C$ ).

Wie geht das mit dem Miknowski-Raum? $\ddot{x}^{\mu}$ würde in 1+1-Dimensionen zu sagen, führen $x=m+m'\sigma$ Und $t=l+l'\sigma$ , wobei Sigma der affine Parameter ist. Aber wie passt das zusammen $g_{\mu,\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$ . Wenn ich die Ableitungen berechne, verstehe ich ${l'}^2-{m'}^2=0$ , was ich als Bedingung interpretiere.
@AlexanderCska Die Bedingung impliziert $l' = \pm m'$ . Was dann einfach impliziert $x = \pm t + a$ dh Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.

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Danu

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Danu

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