Ableitung der geodätischen Abweichungsgleichung aus zwei benachbarten Geodäten

Question

Ableitung der geodätischen Abweichungsgleichung aus zwei benachbarten Geodäten

Peter4075

Ich stecke fest bei dem Versuch, Foster und Nightingales Ableitung der geodätischen Gleichung aus zwei benachbarten Geodäten zu folgen $x^{a}\left(u\right)$ Und $\tilde{x}^{a}\left(u\right)$ verbunden durch einen Verbindungsvektor $\xi\left(u\right)$ . Mein Problem kann sein, dass ich mir nicht sicher bin, was „erste Ordnung“ im Kontext dieser Ableitung bedeutet. Und da kann es auch nicht sein.

Wir wissen das

{\tilde{X}}^{A} = X^{A} + ξ^{A} .

$\tilde{x}^{a}=x^{a}+\xi^{a}.$ Und auf erste Bestellung

{\tilde{Γ}}_{B C}^{A} = Γ_{B C}^{A} + \partial_{D} Γ_{B C}^{A} ξ^{D} .

$\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}=\Gamma_{bc}^{a}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}.$

Die beiden geodätischen Gleichungen lauten:

\frac{D^{2} {\tilde{X}}^{A}}{D u^{2}} + {\tilde{Γ}}_{B C}^{A} \frac{D {\tilde{X}}^{B}}{D u} \frac{D {\tilde{X}}^{C}}{D u} = 0

$\frac{d^{2}\tilde{x}^{a}}{du^{2}}+\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}\frac{d\tilde{x}^{b}}{du}\frac{d\tilde{x}^{c}}{du}=0$

Und

\frac{D^{2} X^{A}}{D u^{2}} + Γ_{B C}^{A} \frac{D X^{B}}{D u} \frac{D X^{C}}{D u} = 0.

$\frac{d^{2}x^{a}}{du^{2}}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$

Subtrahiere die zweite geodätische Gleichung von der ersten geodätischen Gleichung, um zu erhalten

\frac{D^{2} ξ^{A}}{D u^{2}} + {\tilde{Γ}}_{B C}^{A} \frac{D {\tilde{X}}^{B}}{D u} \frac{D {\tilde{X}}^{C}}{D u} - Γ_{B C}^{A} \frac{D X^{B}}{D u} \frac{D X^{C}}{D u} = 0.

$\frac{d^{2}\xi^{a}}{du^{2}}+\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}\frac{d\tilde{x}^{b}}{du}\frac{d\tilde{x}^{c}}{du}-\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$ Einsetzen der obigen Gleichungen für

{\tilde{x}}^{a}

$\tilde{x}^{a}$ Und

{\tilde{Γ}}_{b c}^{a}

$\tilde{\Gamma}_{bc}^{a}$ in diese und ich am Ende mit

\frac{D^{2} ξ^{A}}{D u^{2}} + Γ_{B C}^{A} \frac{D X^{B}}{D u} \frac{D ξ^{C}}{D u} + Γ_{B C}^{A} \frac{D ξ^{B}}{D u} \frac{D X^{C}}{D u} + \partial_{D} Γ_{B C}^{A} ξ^{D} \frac{D X^{B}}{D u} \frac{D X^{C}}{D u} + \partial_{D} Γ_{B C}^{A} ξ^{D} \frac{D X^{B}}{D u} \frac{D ξ^{C}}{D u} + \partial_{D} Γ_{B C}^{A} ξ^{D} \frac{D ξ^{B}}{D u} \frac{D X^{C}}{D u} = 0.

$\frac{d^{2}\xi^{a}}{du^{2}}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}+\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}=0.$ Das ist richtig, aber nur, wenn ich die letzten beiden Begriffe weglassen kann

(\partial_{d} Γ_{b c}^{a} ξ^{d} \frac{d x^{b}}{d u} \frac{d ξ^{c}}{d u})

$\left(\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{dx^{b}}{du}\frac{d\xi^{c}}{du}\right)$ Und

(\partial_{d} Γ_{b c}^{a} ξ^{d} \frac{d ξ^{b}}{d u} \frac{d x^{c}}{d u}) .

$\left(\partial_{d}\Gamma_{bc}^{a}\xi^{d}\frac{d\xi^{b}}{du}\frac{dx^{c}}{du}\right).$ Foster und Nightingale sagen: „Nur erster Auftrag [in

ξ^{a}

$\xi^{a}$ ] Begriffe wurden beibehalten“ . Aber warum sind diese beiden Terme zweiter Ordnung? Tut

ξ^{d} \frac{d ξ^{c}}{d u}

$\xi^{d}\frac{d\xi^{c}}{du}$ zählen als Term zweiter Ordnung in

ξ^{a}

$\xi^{a}$ ? Danke

Ryan Unger

Fragen, bei denen die Antwort "Ja" sein kann, sind im Allgemeinen verpönt ... aber die Antwort ist ja.

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Fragen, bei denen die Antwort "Ja" sein kann, sind im Allgemeinen verpönt ... aber die Antwort ist ja.

Base · Answer 1

Base

ja, denk dran $\xi$ als Einheitsvektor und ersetzen Sie alle Instanzen davon durch $\epsilon \xi$ Wo $\epsilon$ ist eine kleine Zahl. Dann werden Sie sehen, dass diese beiden Terme in zweiter Ordnung sind $\epsilon$ .

Peter4075

Danke, aber ich verstehe immer noch nicht, warum etwas multipliziert mit der Ableitung von diesem etwas zweiter Ordnung sein sollte. Woher wissen wir das

\frac{d ξ^{c}}{d u}

$\frac{d\xi^{c}}{du}$ ist eine kleine Zahl? Ich gehe davon aus, dass zweite Ordnung in dieser Ableitung etwas Quadratisches bedeutet, keine Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Base

Betrachten Sie es einfach als Erweiterung der Taylor-Serie (was genau das ist). Egal wie groß

\frac{d ξ}{d u}

$\frac{d\xi}{du}$ ist, für ein kleines genug

ϵ

$\epsilon$ ,

ϵ^{2} ξ \frac{d ξ}{d u}

$\epsilon^2 \xi \frac{d\xi}{du}$ wird bestellt

ϵ

$\epsilon$ kleiner als beide

ϵ ξ

$\epsilon \xi$ oder

ϵ \frac{d ξ}{d u}

$\epsilon \frac{d\xi}{du}$ und daher vernachlässigbar. Denken Sie daran, dass der obige Ausdruck nur für die erste Bestellung gültig ist

ϵ ξ

$\epsilon \xi$ an erster Stelle (sehen Sie sich die Definition von an

\bar{Γ}

$\bar{\Gamma}$ )

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Peter4075

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