Geodätische Gleichungen

Question

Geodätische Gleichungen

Wert

Ich habe Probleme zu verstehen, wie die folgende Aussage (aus einigen alten Notizen) wahr ist:

Für einen zweidimensionalen Raum wie z
$D S^{2} = \frac{1}{u^{2}} (- D u^{2} + D v^{2})$ $ds^2=\frac{1}{u^2}(-du^2+dv^2)$ die zeitähnlichen Geodäten sind gegeben durch $u^{2} = v^{2} + A v + B$ $u^2=v^2+av+b$ Wo $a,b$ sind Konstanten.

Wenn ich "Geodäten" sehe, springe ich zu den Euler-Lagrange-Gleichungen. Sie gaben mir

\frac{D}{D λ} (- 2 \frac{\dot{u}}{u^{2}}) = (- {\dot{u}}^{2} + {\dot{v}}^{2}) (- \frac{2}{u^{3}}) ⟹ \frac{\ddot{u}}{u^{2}} - 2 \frac{{\dot{u}}^{2}}{u^{3}} = \frac{1}{u^{3}} (- {\dot{u}}^{2} + {\dot{v}}^{2}) ⟹ u \ddot{u} - {\dot{u}}^{2} - {\dot{v}}^{2} = 0

$\frac{d}{d\lambda}(-2\frac{\dot u}{u^2})=(-\dot u^2+\dot v^2)(-\frac{2}{u^3})\\ \implies \frac{\ddot u}{u^2}-2\frac{\dot u^2}{u^3}=\frac{1}{u^3}(-\dot u^2+\dot v^2)\\ \implies u\ddot u-\dot u^2-\dot v^2=0$ Und

\frac{D}{D λ} (2 \frac{\dot{v}}{u^{2}}) = 0 ⟹ \dot{v} = C u^{2}

$\frac{d}{d\lambda}(2\frac{\dot v}{u^2})=0\\ \implies \dot v=cu^2$ Wo

c

$c$ ist etwas konstant.

Zeitlich impliziert

{\dot{X}}^{A} {\dot{X}}_{A} = - 1

$\dot x^a\dot x_a=-1$ wo ich das angenommen habe

(- + + +)

$(-+++)$ Unterschrift.

Ich kann beim besten Willen nicht sehen, wie sich die Aussage daraus ergibt. Würde es jemand erklären? Danke.

Muphrid

Warum haben Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen statt beispielsweise der geodätischen Gleichung für die Allgemeine Relativitätstheorie gewählt?

Wert

@Muphrid: Weil die geodätische Gleichung für GR von den EL-Gleichungen abgeleitet wird - also verwende ich im Grunde dasselbe. Nur, die EL-Gleichungen sind bequemer, imo, weil ich nicht zuerst die Christoffel-Symbole berechnen muss und dann ...

Antworten (2)

Geodätische Gleichungen

Warum haben Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen statt beispielsweise der geodätischen Gleichung für die Allgemeine Relativitätstheorie gewählt?
@Muphrid: Weil die geodätische Gleichung für GR von den EL-Gleichungen abgeleitet wird - also verwende ich im Grunde dasselbe. Nur, die EL-Gleichungen sind bequemer, imo, weil ich nicht zuerst die Christoffel-Symbole berechnen muss und dann ...

JoshPhysik · Answer 1

Ich ziehe es vor, Killing-Vektoren und Erhaltungssätze zu verwenden, um solche Dinge zu lösen, also lassen Sie uns das Problem mit Killing-Vektoren analysieren und sehen, ob die Ergebnisse mit Ihren Euler-Lagrange-Gleichungen übereinstimmen.

Beachten Sie, dass die Metrik unter Übersetzungen von unveränderlich ist $v$ . Der zugehörige Tötungsvektor ist $\partial_v$ was wiederum die folgende Erhaltungsgröße ergibt:

C_{v} = \dot{X} \cdot \partial_{v} = \frac{\dot{v}}{u^{2}}

$c_v = \dot x\cdot \partial_v = \frac{\dot v}{u^2}$ Das stimmt genau mit Ihrer zweiten Euler-Lagrange-Gleichung überein; So weit, ist es gut. Der zeitgemäße Zustand

\dot{x} \cdot \dot{x} = - 1

$\dot x\cdot\dot x = -1$ kann in Komponenten geschrieben werden als

\frac{- {\dot{u}}^{2} + {\dot{v}}^{2}}{u^{2}} = - 1

$\frac{-\dot u^2 + \dot v^2}{u^2} = -1$ Verwenden Sie die obige Erhaltungsgleichung zum Eliminieren

\dot{v}

$\dot v$ ergibt dann eine Differentialgleichung erster Ordnung für

\dot{u}

$\dot u$

\frac{- {\dot{u}}^{2} + C_{v}^{2} u^{4}}{u^{2}} = - 1

$\frac{-\dot u^2+c_v^2u^4}{u^2}=-1$ was vereinfacht zu

{\dot{u}}^{2} = C_{v}^{2} u^{4} + u^{2}

$\dot u^2 = c_v^2u^4 + u^2$ Dies ist eine trennbare Differentialgleichung erster Ordnung, die durch Trennung der Variablen und Integration gelöst werden kann. Sobald Sie dies lösen

u

$u$ , können Sie die Lösung wieder in die Erhaltungsgleichung einsetzen

c_{v} = \dot{v} / u^{2}

$c_v = \dot v/u^2$ und löse auch diese Gleichung durch Integration. Das ergibt die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems, und dann können Sie sich darauf beziehen

u

$u$ Und

v

$v$ wie im Angebot angegeben.

Warnung; Möglicherweise gibt es einfachere Möglichkeiten, das zu zeigen, was Sie zeigen möchten.

QMechaniker · Answer 2

Methode 1: Implizites Differenzieren ohne explizites Lösen von ODEs:

\frac{D (u^{2})}{D v} = \frac{1}{\dot{v}} \frac{D (u^{2})}{D T} = \frac{2 u \dot{u}}{\dot{v}} = \frac{2 \dot{u}}{C u}

$\frac{d(u^2)}{dv}~=~\frac{1}{\dot{v}} \frac{d(u^2)}{dt}~=~\frac{2u\dot{u}}{\dot{v}}~=~\frac{2\dot{u}}{cu}$

⇓

$\Downarrow$

\frac{D^{2} (u^{2})}{D v^{2}} = \frac{1}{\dot{v}} \frac{D}{D T} (\frac{2 \dot{u}}{C u}) = \frac{2}{\dot{v}} \frac{\ddot{u} u - {\dot{u}}^{2}}{C u^{2}} = \frac{2}{\dot{v}} \frac{{\dot{v}}^{2}}{C u^{2}} = 2,

$\frac{d^2(u^2)}{dv^2}~=~\frac{1}{\dot{v}} \frac{d}{dt}\left(\frac{2\dot{u}}{cu} \right)~=~\frac{2}{\dot{v}} \frac{\ddot{u}u-\dot{u}^2}{cu^2}=\frac{2}{\dot{v}} \frac{\dot{v}^2}{cu^2} ~=~2,$

was wiederum die gesuchte Gleichung von OP impliziert. Oben haben wir nur die beiden Euler-Lagrange-Gleichungen verwendet $\ddot{u}u=\dot{u}^2+\dot{v}^2$ Und $\dot{v}=cu^2$ .

Methode 2: Explizites Lösen von ODEs:

Skalieren Sie die Variablen neu als

U := C u, v := C v .

$U~:=~cu, \qquad V~:=~cv.$

Dann die beiden Gleichungen $\dot u^2 = c^2u^4 + u^2$ Und $\dot{v}=cu^2$ werden

{\dot{U}}^{2} = U^{4} + U^{2}, \dot{v} = U^{2},

$\dot{U}^2 ~=~U^4+U^2, \qquad \dot{V}~=~U^2 ,$

mit vollständiger Lösung

U (T) = \pm C S C H (T - T_{0}), v (T) = \coth (T - T_{0}) + v_{0} .

$U(t)~=~\pm {\rm csch}(t-t_0), \qquad V(t)~=~\coth(t-t_0)+V_0.$

Die gesuchte Gleichung von OP folgt nun aus

(v - v_{0})^{2} = U^{2} + 1.

$(V-V_0)^2 ~=~ U^2 +1.$

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