Lösung zu Geodäten auf einer 2-Sphäre

Ich wurde beauftragt, Partikelbahnen für eine Punktmasse zu finden, die sich entlang der Oberfläche der 2-Sphäre bewegt$t=t(\tau)$,$\theta=\theta(\tau)$Und$\phi=\phi(\tau)$. Mein Vorgesetzter gab mir die Raumzeitmetrik

$ds^2 = -dt^2 +R^2(d\theta^2 +sin^2{\theta}d\phi^2)$

Ich finde zeitähnliche Geodäten,$1 = -g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$.

Hier ist, was ich bisher habe,

$t = E\tau$,$\dot{t} = E$,$sin^2\theta\frac{d\phi}{d\tau} = \frac{k}{R}$Wo$\frac{k}{R}$eine dimensionslose Konstante ist. Ich habe ausgewechselt$\dot{\phi}$Und$\dot{t}$zurück in die richtige Zeitanzeige zu bekommen.

$\dot{\theta} = \pm\frac{1}{Rsin\theta}\sqrt{E^2sin^2\theta-k^2-sin^2\theta}$

Ich habe versucht, die Substitution zu verwenden$u=cos\theta$die zu beseitigen$sin\theta$und hoffentlich einen Ausdruck bekommen, den ich integrieren könnte, um eine inverse trigonometrische Funktion zu erhalten, weiß ich, dass die Geodäten große Kreise entlang der Oberfläche der Kugel beschreiben sollten. Aber ich kann diese letzte Gleichung nicht lösen. Danke