Geodätische Gleichungen der FRW-Metrik (Christoffel-Symbole)

Question

Geodätische Gleichungen der FRW-Metrik (Christoffel-Symbole)

Charlie

Ich arbeite mit der Standard-FRW-Metrik,

D S^{2} = D T^{2} - A^{2} [\frac{D R^{2}}{1 - k R^{2}} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})]

$ds^2=dt^2-a^2\left [\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right ]$

Unter Verwendung der Definition der Christoffel-Symbole

Γ_{A B}^{C} = \frac{1}{2} G^{C D} (G_{A D, C} + G_{B D, A} - G_{A B, D})

$\Gamma^c_{ab}=\frac{1}{2}g^{cd}(g_{ad,c}+g_{bd,a}-g_{ab,d})$

Ich habe die Christoffel-Symbole ungleich Null für die FRW-Metrik unter Verwendung der Notation gefunden $(t,r,\theta,\phi)=(0,1,2,3)$ ,

Γ_{11}^{0} = \frac{A \dot{A}}{1 - k R^{2}}, Γ_{22}^{0} = A \dot{A} R^{2}, Γ_{33}^{0} = A \dot{A} R^{2} {Sünde}^{2} θ, Γ_{11}^{1} = \frac{k R}{(1 - k R^{2})}

$\Gamma^{0}_{11}=\frac{a\dot{a}}{1-kr^2} \ \ ,\ \ \Gamma^{0}_{22}=a\dot{a}r^2 \ \ ,\ \ \Gamma^{0}_{33}=a\dot{a}r^2 \sin^2\theta \ \ , \ \ \Gamma^{1}_{11}=\frac{kr}{(1-kr^2)}$

Γ_{01}^{1} = Γ_{02}^{1} = Γ_{03}^{1} = \frac{\dot{A}}{A}, Γ_{22}^{1} = - R (1 - k R^{2}), Γ_{33}^{1} = - R (1 - k R^{2}) {Sünde}^{2} θ

$\Gamma^{1}_{01}=\Gamma^{1}_{02}=\Gamma^{1}_{03}=\frac{\dot{a}}{a} \ \ ,\ \ \Gamma^{1}_{22}=-r(1-kr^2) \ \ ,\ \ \Gamma^{1}_{33}=-r(1-kr^2) \sin^2\theta$

Γ_{12}^{2} = Γ_{13}^{3} = \frac{1}{R}, Γ_{33}^{2} = - Sünde θ \cos θ, Γ_{23}^{3} = \frac{\cos θ}{Sünde θ}

$\Gamma^{2}_{12}=\Gamma^{3}_{13}=\frac{1}{r} \ \ ,\ \ \Gamma^{2}_{33}=-\sin\theta \cos\theta \ \ ,\ \ \Gamma^{3}_{23}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Jetzt versuche ich, die geodätischen Gleichungen für diese Metrik abzuleiten, die wie folgt angegeben sind:

\frac{D^{2} X^{μ}}{D S^{2}} + Γ_{v λ}^{μ} \frac{D X^{v}}{D S} \frac{D X^{λ}}{D S} = 0

$\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\lambda}\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds}=0$

Zum Beispiel für $\mu=0$ , Ich verstehe das,

\frac{D^{2} T}{D S^{2}} + \frac{A \dot{A}}{1 - k R^{2}} {(\frac{D R}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {(\frac{D θ}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {Sünde}^{2} θ {(\frac{D ϕ}{D S})}^{2} = 0

$\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left (\frac{dr}{ds}\right )^2+a\dot{a}r^2\left (\frac{d\theta}{ds}\right )^2+a\dot{a}r^2 \sin^2\theta\left (\frac{d\phi}{ds}\right )^2=0$

Als ich jedoch mit diesem Dokument im Abschnitt Geodäten ( http://popia.ft.uam.es/Cosmology/files/02FriedmannModels.pdf ) nachgesehen habe, erhalten sie:

\frac{| u |}{C} | \dot{u} | + \frac{\dot{A}}{A} | u |^{2} = 0

$\frac{|u|}{c}|\dot{u}|+\frac{\dot{a}}{a}|u|^2=0$

Wo $\frac{du^0}{ds}=\frac{|u|}{c}|\dot{u}|$ Und $u^\mu=\frac{dx^\mu}{dt}$ .

Ich bin mir nicht sicher, was ich falsch mache oder ob es nur eine Frage der Konvention ist. Ich habe diese Frage auch überprüft ( Geodäten für die FRW-Metrik nach dem Variationsprinzip ), aber die FRW-Metrik ist etwas anders, daher hat es nicht geholfen.

John Dumancic

Sie haben ein Symbol übersehen:

Γ_{11}^{1} = \frac{k r}{1 - k r^{2}}

$\Gamma^1_{11}=\frac{kr}{1-kr^2}$ . Außerdem sind die Symbole nicht als definiert

Γ_{μ ν}^{σ} = \frac{1}{2} g^{σ ρ} (\partial_{μ} g_{ν ρ} + \partial_{ν} g_{ρ μ} - \partial_{ρ} g_{μ ν})

$\Gamma^\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma\rho}(\partial_\mu g_{\nu\rho}+\partial_\nu g_{\rho\mu}-\partial_\rho g_{\mu\nu})$ ?

Charlie

Tut mir leid, dass ich das beim Schreiben vergessen habe. Die Definition der Symbole ist jedoch äquivalent, wenn Sie ihre Symmetrien betrachten, da die von mir eingegebene die von meinem Professor verwendete ist. Auf jeden Fall sind die Christoffel-Symbole korrekt, wie ich anhand des folgenden Dokuments (S. 22) überprüft habe: icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf

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Geodätische Gleichungen der FRW-Metrik (Christoffel-Symbole)

Sie haben ein Symbol übersehen: $\Gamma^1_{11}=\frac{kr}{1-kr^2}$ . Außerdem sind die Symbole nicht als definiert $\Gamma^\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma\rho}(\partial_\mu g_{\nu\rho}+\partial_\nu g_{\rho\mu}-\partial_\rho g_{\mu\nu})$ ?
Tut mir leid, dass ich das beim Schreiben vergessen habe. Die Definition der Symbole ist jedoch äquivalent, wenn Sie ihre Symmetrien betrachten, da die von mir eingegebene die von meinem Professor verwendete ist. Auf jeden Fall sind die Christoffel-Symbole korrekt, wie ich anhand des folgenden Dokuments (S. 22) überprüft habe: icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf

John Dumancic · Answer 1

Nun, es scheint, dass die beiden gleich sind. Erstens nehme ich an, dass wir aufgrund Ihrer letzten Gleichung nicht in natürlichen Einheiten arbeiten. Somit ändert sich die Metrik zu

D S^{2} = (C D T)^{2} - A^{2} [\frac{D R^{2}}{1 - k R^{2}} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})]

$ds^2=(cdt)^2-a^2\left [\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right ]$ Somit ändert sich Ihre Gleichung zu

C \frac{D^{2} T}{D S^{2}} + \frac{A \dot{A}}{1 - k R^{2}} {(\frac{D R}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {(\frac{D θ}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {Sünde}^{2} θ {(\frac{D ϕ}{D S})}^{2}

$c\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2$ Zweitens, beachten Sie, dass je nach Ressource die Geschwindigkeit in der Laufzeit

\frac{\dot{a}}{a} | u |^{2}

$\frac{\dot{a}}{a}|u|^2$ ist die drei Geschwindigkeit. Also werde ich die vier Geschwindigkeiten mit bezeichnen

u^{μ}

$u^\mu$ und die drei Geschwindigkeiten mit

u^{i}

$u^i$ . Die gegebene Gleichung wird also

\frac{D u^{0}}{D S} + \frac{\dot{A}}{A} u^{ich} u_{ich} = 0

$\frac{du^0}{ds}+\frac{\dot{a}}{a}u^iu_i=0$ wobei ich mir die Freiheit genommen habe, den ersten Term zu ändern, da die Ableitung in dieser Ressource angegeben ist, und Sie haben es bereits bemerkt. Wir multiplizieren mit minus eins, da die Ressource eine andere Metriksignatur verwendet:

- \frac{D u^{0}}{D S} - \frac{\dot{A}}{A} u^{ich} u_{ich} = 0

$-\frac{du^0}{ds}-\frac{\dot{a}}{a}u^iu_i=0$ Ihre erste Amtszeit ist gleich

- \frac{D u^{0}}{D S} = - \frac{C}{C} \frac{D u^{0}}{D S} = C \frac{D}{D S} (- \frac{1}{C} \frac{D T}{D τ}) = C \frac{D}{D S} (\frac{D T}{D S}) = C \frac{D^{2} T}{D S^{2}}

$-\frac{du^0}{ds}=-\frac{c}{c}\frac{du^0}{ds}=c\frac{d}{ds}\left(-\frac{1}{c}\frac{dt}{d\tau}\right)=c\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)=c\frac{d^2t}{ds^2}$ Für das zweite haben wir

\begin{aligned} - \frac{\dot{A}}{A} (u^{ich} u_{ich}) & = \frac{\dot{A}}{A} (\frac{A^{2}}{1 - k R^{2}} {(\frac{D R}{D S})}^{2} + A^{2} R^{2} {(\frac{D θ}{D S})}^{2} + A^{2} R^{2} {Sünde}^{2} θ {(\frac{D ϕ}{D S})}^{2}) \\ = \frac{A \dot{A}}{1 - k R^{2}} {(\frac{D R}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {(\frac{D θ}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {Sünde}^{2} θ {(\frac{D ϕ}{D S})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}-\frac{\dot{a}}{a}(u^i u_i)&=\frac{\dot{a}}{a}\left(\frac{a^2}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a^2r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a^2r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2\right) \\ &=\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2 \end{align}$ Deshalb,

\frac{D u^{0}}{D S} + \frac{\dot{A}}{A} u^{ich} u_{ich} = 0 = C \frac{D^{2} T}{D S^{2}} + \frac{A \dot{A}}{1 - k R^{2}} {(\frac{D R}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {(\frac{D θ}{D S})}^{2} + A \dot{A} R^{2} {Sünde}^{2} θ {(\frac{D ϕ}{D S})}^{2} = 0

$\frac{du^0}{ds}+\frac{\dot{a}}{a}u^iu_i=0=c\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=0$ und sie sind gleich.

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Charlie

John Dumancic

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John Dumancic

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