Christoffel-Symbole aus der geodätischen Gleichung für eine Metrik mit nicht diagonalen Elementen

Question

Christoffel-Symbole aus der geodätischen Gleichung für eine Metrik mit nicht diagonalen Elementen

Der Eine

Bei einer Diagonalmetrik gilt

\begin{aligned} D S^{2} = G_{μ v} D X^{μ} D X^{v}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}{x}^\mu\mathrm{d}{x}^\nu, \end{align}$ Es ist relativ einfach, die Christoffel-Symbole zu finden, indem man die Euler-Lagrange-Gleichung vergleicht

\begin{aligned} \frac{D}{D τ} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{μ}}) - \frac{\partial L}{\partial X^{μ}} = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=0, \end{align}$ Wo

L = \frac{1}{2} g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$L=\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ Und

{\dot{x}}^{μ} = d x^{μ} / d τ

$\dot x^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau$ , zur geodätischen Gleichung

\begin{aligned} {\ddot{X}}^{μ} + Γ_{ρ σ}^{μ} {\dot{X}}^{ρ} {\dot{X}}^{σ} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho\dot x^\sigma=0. \end{align}$

Dies wird jedoch weniger einfach für eine Metrik mit nicht diagonalen Termen. Zusätzliche Kreuzterme im Linienelement lassen nicht nur einen, sondern zwei Ableitungsterme zweiter Ordnung in der Euler-Lagrange-Gleichung erscheinen, wodurch ein direkter Vergleich mit der geodätischen Gleichung weniger aufschlussreich wird.

Betrachten Sie zur Veranschaulichung eine zweidimensionale Metrik

\begin{aligned} D S^{2} = F D T^{2} + G D T D R + H D R^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}s^2=f\mathrm{d}t^2+g\mathrm{d}t\mathrm{d}r+h\mathrm{d}r^2, \end{align}$ mit beliebigen Funktionen

f = f (t, r), g = g (t, r), h = h (t, r)

$f=f(t,r),g=g(t,r),h=h(t,r)$ .

In diesem Fall die $\mu=t$ Und $\mu=r$ Komponenten ergeben sich jeweils für die Euler-Lagrange-Gleichungen

\begin{aligned} 2 F \ddot{T} + G \ddot{R} + 2 (\frac{\partial F}{\partial T} \dot{T} + \frac{\partial F}{\partial R} \dot{R}) \dot{T} + (\frac{\partial G}{\partial T} \dot{T} + \frac{\partial G}{\partial R} \dot{R}) \dot{R} - \frac{\partial F}{\partial T} {\dot{T}}^{2} - \frac{\partial G}{\partial T} \dot{T} \dot{R} - \frac{\partial H}{\partial T} {\dot{R}}^{2} = 0 \\ 2 H \ddot{R} + G \ddot{T} + 2 (\frac{\partial H}{\partial T} \dot{T} + \frac{\partial H}{\partial R} \dot{R}) \dot{R} + (\frac{\partial G}{\partial T} \dot{T} + \frac{\partial G}{\partial R} \dot{R}) \dot{T} - \frac{\partial F}{\partial R} {\dot{T}}^{2} - \frac{\partial G}{\partial R} \dot{T} \dot{R} - \frac{\partial H}{\partial R} {\dot{R}}^{2} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} 2f\ddot t+g\ddot r+2\left(\frac{\partial f}{\partial t}\dot t+\frac{\partial f}{\partial r}\dot r\right)\dot t+\left(\frac{\partial g}{\partial t}\dot t+\frac{\partial g}{\partial r}\dot r\right)\dot r-\frac{\partial f}{\partial t}\dot t^2-\frac{\partial g}{\partial t}\dot t\dot r-\frac{\partial h}{\partial t}\dot r^2=0\\ 2h\ddot r+g\ddot t+2\left(\frac{\partial h}{\partial t}\dot t+\frac{\partial h}{\partial r}\dot r\right)\dot r+\left(\frac{\partial g}{\partial t}\dot t+\frac{\partial g}{\partial r}\dot r\right)\dot t-\frac{\partial f}{\partial r}\dot t^2-\frac{\partial g}{\partial r}\dot t\dot r-\frac{\partial h}{\partial r}\dot r^2=0. \end{align}$

Jetzt das zusätzliche $g\ddot r$ im ersten u $g\ddot t$ in der zweiten Gleichung verbieten einen direkten Vergleich mit der geodätischen Gleichung und anschließendes Auffinden der Christoffel-Symbole.

Wie finden wir im Allgemeinen auf diese Weise die Christoffel-Symbole für eine Metrik mit nicht diagonalen Termen? Ist es so einfach, eine Euler-Lagrange-Gleichung durch die andere zu ersetzen, um einen der Ableitungsterme zweiter Ordnung zu eliminieren?

QMechaniker

Unterscheiden sich Ihre Christoffel-Symbole von den Levi-Civita Christoffel-Symbolen?

Mike Stein

Warum arbeitest du nicht durch, wie die Gleichung

{\ddot{x}}^{μ} + Γ_{ρ σ}^{μ} {\dot{x}}^{ρ} {\dot{x}}^{σ}

$\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \dot x^\rho \dot x^\sigma$ geht als Euler-Langrange-Gleichung aus

\int d τ g_{m u ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\int d\tau g_{mu\nu} \dot x^\mu\dot x^\nu$ . Das wird dir deine Frage beantworten. (Tipp: verwenden

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ )

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Christoffel-Symbole aus der geodätischen Gleichung für eine Metrik mit nicht diagonalen Elementen

Unterscheiden sich Ihre Christoffel-Symbole von den Levi-Civita Christoffel-Symbolen?
Warum arbeitest du nicht durch, wie die Gleichung $\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \dot x^\rho \dot x^\sigma$ geht als Euler-Langrange-Gleichung aus $\int d\tau g_{mu\nu} \dot x^\mu\dot x^\nu$ . Das wird dir deine Frage beantworten. (Tipp: verwenden $g^{\mu\nu}$ )

Aylon Pinto · Answer 1

Wenn wir keine Torsion und metrische Kompatibilität mit der Verbindung ( $\nabla_{\mu}g_{\alpha\beta}=0$ ) gibt es die Formel von:

Γ_{a β}^{μ} = \frac{1}{2} G^{μ ρ} (\partial_{a} G_{ρ β} + \partial_{β} G_{ρ a} - \partial_{ρ} G_{a β})

$\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\mu\rho}(\partial_{\alpha}g_{\rho\beta}+\partial_{\beta}g_{\rho\alpha}-\partial_{\rho}g_{\alpha\beta})$

Ihre geodätische Gleichung ist nicht ganz richtig. Es sollte eine haben $\Gamma^\mu_{\rho \sigma}$ . Aber genauer gesagt, was meinen Sie mit der ersten geodätischen Gleichung, die nur für eine "diagonale Metrik" gilt? Die geodätische Gleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung. Ihr Original $g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ ist ziemlich allgemein und nicht "diagonal".
Ich meine, die geodätische Gleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung für $\int d\tau g_{\mu,\nu}(x) \dot x^\mu \dot x^\nu$ . Wenn Sie es nicht verstehen, machen Sie einen Fehler.
Ja, das weiß ich, ich habe die Frage nicht gestellt, ich habe es geahnt ...
Ja. Verzeihung! Ich wollte die Frage kommentieren, nicht Ihre Antwort!
Stimmt, es gibt einen Typ in meiner geodätischen Gleichung, ich werde ihn ändern, danke für den Hinweis. Was ich meinte, ist, dass die geodätische Gleichung jetzt nicht mehr die Form hat, wie ich sie geschrieben habe, da es jetzt zwei Terme einer Ableitung zweiter Ordnung gibt, sodass Sie die Christoffel-Symbole nicht mehr leicht lesen können. Auch die von Aylon Pinto geschriebene Gleichung funktioniert hervorragend, wenn Sie nach einem bestimmten Christoffel-Symbol suchen, aber es wird sehr aufwendig, wenn Sie alle (einschließlich verschwindender) finden möchten, da dies 64 Gleichungen für eine 4D-Raumzeit sind.
Soweit ich weiß, ist dies die einzige allgemeine Form des Christoffel-Symbols. Auch die geodätische Gleichung $\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho\dot x^\sigma=0$ ist auch die allgemeine geodätische Gleichung in Koordinaten, da sie aus dem parallelen Transport unter Verwendung der kovarianten Ableitung abgeleitet wird. Also ich verstehe jetzt nicht wirklich was du wissen willst.
Tatsächlich denke ich, dass dies die einzige andere Methode ist, um die Christoffel-Symbole zu finden, und wahrscheinlich die effektivste Methode im Fall einer Metrik mit nicht diagonalen Termen.

PJ_Finnegan · Answer 2

Sie können die Christoffel-Symbole alternativ durch den parallelen Transport und die kovariante Ableitung einführen.
Die Geodäte ist durch ihre normierte Geschwindigkeit gekennzeichnet $dx^{i}/ds$ wird parallel transportiert (dh es ist in Größe und Richtung unter der Metrik konstant), was bedeutet, dass seine kovariante Ableitung verschwindet.
Daraus können Sie die geodätischen Differentialgleichungen erarbeiten, und die Christoffel-Symbole erscheinen durch die kovariante Ableitung.

Jerry Schirmer · Answer 3

Wenn Sie WIRKLICH auf diese Weise nach den Christoffel-Symbolen auflösen wollen, werden Sie im Grunde immer mit einer Reihe von Termen der zweiten Ableitung und einer Reihe von Produkten der Terme der ersten Ableitung enden. Sie können sie immer einfach in eine 4x4-Matrix einbeziehen $A_{ij}$ damit Ihre vier Variationsgleichungen aussehen

$A_{ij}\frac{d^{2}x^{i}}{ds^{2}} = \left({\rm products\, of\, first\, derivative\, terms}\right)_j$

Dann kehren Sie einfach die Matrix A um und Sie haben Ihre vier geodätischen Gleichungen.

Es wird jedoch weniger Arbeit machen, nur die allgemeine Formel für die Christoffel-Symbole zu verwenden, außer vielleicht in einigen sehr speziellen Fällen.

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