Erhaltungsgröße entlang geodätischer und metrischer Werte

Ich studiere die Allgemeine Relativitätstheorie zu Schutzs Buch. In Kapitel 7 spricht er über Erhaltungsgrößen entlang Geodäten mit der Gleichung

M D P β D λ = 1 2 G v a , β P v P a
und er kommt zu dem Schluss, dass „wenn alle Komponenten der Metrik unabhängig sind von X β für irgendeinen Index β Dann P β ist eine Konstante entlang der Flugbahn eines jeden Teilchens“.

Zum Beispiel in der bekannten Schwarzschild-Metrik, P 0 bleibt erhalten, da die Metrik unabhängig von ist T . Aber ich könnte eine Koordinatenänderung vornehmen, um die Metrik „zeitabhängig“ zu machen. Bedeutet dies, dass dieses Konzept der Erhaltungsgrößen entlang Geodäten koordinatenabhängig ist? Gibt es einen bevorzugten Referenzrahmen, in dem diese Größe erhalten bleibt?

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Ich bin wahrscheinlich verwirrt über das Konzept des Referenzrahmens und des Koordinatensystems. Ich werde versuchen, die Quelle meiner Verwirrung anzugeben. Schutz sagt das mit der Schwarzschild-Metrik

D S 2 = − e 2 Φ ( R ) D T 2 + e 2 Λ ( R ) D R 2 + R 2 D Ω 2
"da die Metrik unabhängig ist von T Jedes Teilchen, das einer Geodäte folgt, hat eine konstante Impulskomponente P 0 ≡ − E ". Dann stellt er fest, dass "ein lokaler Trägheitsbeobachter in Ruhe (momentan) bei jedem Radius ist R der Raumzeit misst eine andere Energie, nämlich E ∗ = E e − Φ ".

Was bedeutet das? Bedeutet dies, dass, wenn ein Beobachter, der an einem Punkt der Raumzeit ruht, eine Größe misst, ich ein lokales Minkowski-Koordinatensystem (Tangentenraum des Punktes P des Beobachters auf der Mannigfaltigkeit) verwenden sollte und in diesem Koordinatensystem die Metrik ist nicht unabhängig von der Zeit, da er sieht, dass sich diese Größe entsprechend dem Raumzeitpunkt ändert, von dem aus er die Größe misst? (In der Tat, Φ ist eine Funktion von R ). Wird ein Beobachter diese Größe jemals erhalten sehen, wenn er sie misst, oder ist sie nur ein mathematisches Konstrukt?

Beachten Sie, dass bei einer Koordinatentransformation die Komponente P 0 würde sich ebenfalls ändern – und diese geänderte Komponente würde nicht erhalten bleiben.
Es gibt eine koordinatenunabhängige Möglichkeit, all dies auszudrücken, nämlich dass wir eine Erhaltungsgröße erhalten, wenn die Raumzeit einen Killing-Vektor hat, der durch die (koordinatenunabhängige) Killing-Gleichung definiert ist. Gibt es einen bevorzugten Referenzrahmen, in dem diese Größe erhalten bleibt? Nebenbei bemerkt, Koordinatensysteme sind keine Bezugsrahmen und Bezugsrahmen sind keine Koordinatensysteme. Wir haben keine Referenzrahmen in GR, außer lokal.
Vielen Dank für Ihre beiden Kommentare. Ich habe meine Frage bearbeitet, um die Quelle meiner Verwirrung besser anzugeben

Antworten (1)

Bedeutet dies, dass, wenn ein Beobachter, der an einem Punkt der Raumzeit ruht, eine Größe misst, ich ein lokales Minkowski-Koordinatensystem (Tangentenraum des Punktes P des Beobachters auf der Mannigfaltigkeit) verwenden sollte und in diesem Koordinatensystem die Metrik ist nicht unabhängig von der Zeit, da er sieht, dass sich diese Größe entsprechend dem Raumzeitpunkt ändert, von dem aus er die Größe misst?

Ich habe Schutz nicht gelesen, aber wenn ich Ihre Frage lese, klingt es so, als hätte seine Präsentation dieses Themas einige Mängel, und Ihre Verwirrung kann angesichts dieser Mängel natürlich sein. Er diskutiert dies in Bezug auf die (nicht kovariante) Ableitung der Metrik in Bezug auf eine Koordinate, was sofort einige ernsthafte Probleme schafft. Diese Menge ist einfach nicht messbar. Wenn Sie die Metrik oder ihre Ableitungen messen möchten, stoßen Sie auf folgende Einschränkungen:

  • Ein lokaler Beobachter kann die Metrik nicht messen. (Dies ist aus dem gleichen Grund, aus dem Sie keine absolute potentielle Energie messen können. Die Metrik spielt in GR eine Rolle, die der des Potentials in der Newtonschen Gravitation entspricht.)

  • Ein lokaler Beobachter kann die Ableitung der Metrik nicht messen. (Diese Ableitung wäre im Grunde das Gravitationsfeld, das wegen des Äquivalenzprinzips nicht messbar ist.)

  • Ein lokaler Beobachter kann die zweite Ableitung der Metrik messen, die im Wesentlichen ein Maß für Gezeitenspannungen ist.

Die Präsentation von Schutz verwendet also ein Derivat, das keine physikalische Interpretation hat.

Ja, jedes Mal, wenn ein Beobachter eine Vektorgröße (wie den Energie-Impuls-Vektor) misst, tut er dies implizit in einem lokalen Minkowski-Rahmen. (Sie könnten zum Beispiel das innere Produkt des Vektors mit einem anderen Vektor messen, aber dann verwenden sie diesen anderen Vektor effektiv als Koordinatenachse eines Minkowski-Rahmens.)

Wird ein Beobachter diese Größe jemals erhalten sehen, wenn er sie misst, oder ist sie nur ein mathematisches Konstrukt?

Um dieses Erhaltungsgesetz zu überprüfen, benötigt der Beobachter globale Informationen, nicht nur lokale Informationen. Grundsätzlich müssen sie die Menge messen E ∗ in einem lokalen statischen Rahmen, um dann ihr globales Wissen (der Metrik und ihrer Position in der Raumzeit) zu bestimmen E . Das können sie dann überprüfen E wird konserviert.

Die Unfähigkeit, ein solches Erhaltungsgesetz auf der Grundlage rein lokaler Informationen zu bestimmen, ist in die Struktur von GR eingebrannt. Energie-Impuls ist ein Vektor, und Sie können Vektoren an verschiedenen Punkten in der Raumzeit nicht vergleichen, außer durch parallelen Transport. Sie können sicherlich nachweisen, dass der Energie-Impuls-Vektor eines Testteilchens bei parallelem Transport entlang seiner eigenen geodätischen Bewegung erhalten bleibt, aber Sie enden mit einer Trivialität, die darin besteht, dass das Testteilchen im Wesentlichen dieselbe Bewegung im freien Fall hatte wie Sie. Dies ist nur ein Test des Äquivalenzprinzips, und es gilt sogar in einer Raumzeit, die keine Symmetrie hat.

Um die Probleme, über die Sie sprechen, zufriedenstellender als in der Präsentation von Schutz zu lösen, müssen Sie wirklich den Begriff eines Tötungsvektors verwenden.

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