Schwarzschild-Geodäten

Question

Schwarzschild-Geodäten

Ale

Ich habe auf Wikipedia diese Energie gefunden $E$ und Drehimpuls $L$ eines Teilchens sind Erhaltungsgrößen in der Schwarzschild-Metrik. Es ist geschrieben:

L = M R^{2} \frac{D ϕ}{D τ},

$L=mr^2 \frac {d\phi} {d\tau},$

E = M C^{2} (1 - \frac{R_{S}}{R}) \frac{D T}{D τ} .

$E=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{dt}{d\tau}.$

Und aus der Metrik findet es diese Ergebnisse:

{(\frac{D ϕ}{D τ})}^{2} = \frac{L^{2}}{M^{2} R^{4}}

$\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2=\frac{L^2}{m^2r^4}$

{(\frac{D R}{D τ})}^{2} = \frac{E^{2}}{M^{2} C^{2}} - (1 - \frac{R_{S}}{R}) (C^{2} + \frac{L^{2}}{M^{2} R^{2}}) .

$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=\frac{E^2}{m^2c^2}-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{m^2r^2}\right).$

{(\frac{D T}{D τ})}^{2} = \frac{E}{(1 - \frac{R_{S}}{R}) M C^{2}}

$\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=\frac{E}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)mc^2}$

Das brauche ich, um die Ergebnisse zu erhalten, darunter auch die $\theta$ Koordinate. Also habe ich das versucht:

P_{ϕ} = M R^{2} \frac{D ϕ}{D τ} P_{θ} = M R^{2} \frac{D θ}{D τ}

$p_\phi=mr^2 \frac {d\phi} {d\tau}\qquad\qquad p_\theta=mr^2 \frac {d\theta} {d\tau}$

L^{2} = P_{θ}^{2} + {Sünde}^{2} θ P_{ϕ}^{2} .

$L^2=p_\theta^2 + \sin^2\theta\ p_\phi^2.$

$E$ ist dasselbe?

{(\frac{D ϕ}{D τ})}^{2} = \frac{P_{ϕ}^{2}}{M^{2} R^{4}} {(\frac{D θ}{D τ})}^{2} = \frac{P_{θ}^{2}}{M^{2} R^{4}} .

$\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2=\frac{p_\phi^2}{m^2r^4}\qquad\qquad \left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2=\frac{p_\theta^2}{m^2r^4}.$

$\frac{dr}{d\tau}$ ist dasselbe?

$\frac{dt}{d\tau}$ ist dasselbe?

Aber ich bin mir nicht sicher. Ist es jedoch möglich, ein ähnliches Ergebnis zu erzielen, wenn Sie die hinzufügen $\theta$ Koordinate?

PS: Ich bin ein GR-Anfänger, also weiß ich nicht viel darüber.

Bruce Dean

In der Schwarzschild-Analyse

θ

$\theta$ wird normalerweise als etwas Konstantes angesehen, sagen wir

π / 2

$\pi/2$ , und dann wird die Bewegung in der Äquatorebene als Funktion des Längswinkels analysiert,

φ

$\varphi$ . Dies reicht aus, um Lichtkrümmung und Periastron-Präzession zu analysieren. Wenn

θ

$\theta$ nicht konstant ist, präzediert die Orbitalebene selbst mit einer Neigung von der z-Achse, die durch gegeben ist

θ

$\theta$ . Sind Sie sicher, dass Sie das analysieren möchten? Wenn ja warum?

Ale

Ich entwickle eine 3D-Anwendung, die die Bewegung um ein Schwarzes Loch simuliert, also brauche ich eine Nichtkonstante

θ

$\theta$ koordinieren, denke ich...

QMechaniker

Hallo user2108312. Willkommen bei Phys.SE. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben- Tags und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

Ale

Ich habe gelesen. Ist das also eine Hausaufgabenfrage?

Antworten (2)

Schwarzschild-Geodäten

In der Schwarzschild-Analyse $\theta$ wird normalerweise als etwas Konstantes angesehen, sagen wir $\pi/2$ , und dann wird die Bewegung in der Äquatorebene als Funktion des Längswinkels analysiert, $\varphi$ . Dies reicht aus, um Lichtkrümmung und Periastron-Präzession zu analysieren. Wenn $\theta$ nicht konstant ist, präzediert die Orbitalebene selbst mit einer Neigung von der z-Achse, die durch gegeben ist $\theta$ . Sind Sie sicher, dass Sie das analysieren möchten? Wenn ja warum?
Ich entwickle eine 3D-Anwendung, die die Bewegung um ein Schwarzes Loch simuliert, also brauche ich eine Nichtkonstante $\theta$ koordinieren, denke ich...
Hallo user2108312. Willkommen bei Phys.SE. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben- Tags und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.

MiMo · Answer 1

Drehen Sie die Koordinaten so, dass Sie Ihr Problem auf die „Standard“-Behandlung reduzieren $\theta$ konstant, lösen Sie es und drehen Sie dann die Koordinaten erneut, um die Lösung im ursprünglichen System zu erhalten.

Die Umlaufbahn liegt in der Ebene, die durch die Position ( $\vec r$ ) und Geschwindigkeit ( $\vec v$ ) Vektoren. Diese Ebene sollte so gedreht werden, dass sie zur wird $xy$ Ebene. Der Vektor senkrecht zur Bahnebene ist $\hat n = (\vec r \times \vec v) / (rv)$ , das sollte gedreht werden, um das zu werden $z$ Achse - also die Rotationsachse ist $\hat n \times \hat z$ und der Drehwinkel ist $\arccos(\hat n \cdot \hat z)$

... siehe erweiterte Antwort - Ich habe nicht die gesamte Arbeit erledigt, aber es sollte genug geben, um Sie zum Laufen zu bringen
Vielen Dank! Ich werde das versuchen, aber jetzt kann ich nicht.

roger · Answer 2

Was Sie wirklich wollen, sind zwei Abschnitte von Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Mathematical_derivations_of_the_orbital_equation https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Orbits_of_test_particles

Es mag für eine Weile schwierig sein, aber wenn Sie diese verstehen, werden Sie vor ungeheuerlichen Fehlern bewahrt. So, dass ich (und andere) gemacht haben.

Ich denke, eine Erweiterung der Frage ist angebracht.
Eine korrektere Frage wäre:
1) Können wir angesichts einer mathematischen Beschreibung einer physikalischen Situation Invarianten für bestimmte Arten von Bahnen/Wegen/Geschichten finden?
dh Im Fall: Was sind die Invarianten geodätischer Bahnen/Bahnen in der Schwarzschild-Metrik? Übrigens ein fester Punkt mit "Zeit" (Zeit ist keine feste Koordinate für verschiedene Koordinatensysteme), da die einzige Variable keine Geodäte ist.
Dann:
2) Können wir diese Invarianten mit Energie- und Impulserhaltung identifizieren?

Der erste Teil wird durch einen Satz/Konstruktion/Beweis beantwortet; innerhalb der mathematischen Physik ist es keine Selbstverständlichkeit! Obwohl sich in unserer begrenzten physikalischen Erfahrung die Erhaltung von Energie und Drehimpuls als wahr und nützlich erwiesen hat; in der mathematischen Physik müssen sie für einzelne Situationen zurechtgewiesen werden.
Soweit ich weiß, sind die Fragen für allgemeine Situationen in GR ungelöst.

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Ale

Bruce Dean

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roger

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