Geometrie von Null-Hyperflächen

In Wald Abschnitt 9.2 Seite 221 sagt er das

Wir wenden unsere Aufmerksamkeit; now , um geodätische Kongruenzen zu nullen. Auch hier parametrisieren wir die Geodäten durch einen affinen Parameter$\lambda$, aber im Gegensatz zum zeitähnlichen Fall haben wir jetzt keine natürliche Möglichkeit, das Tangentenfeld zu normalisieren$K^\alpha$und dadurch Anpassung der Skala von$\lambda$auf verschiedenen Geodäten . Im zeitähnlichen Fall haben wir die Betrachtung auf Abweichungsvektoren beschränkt$\eta^\alpha$orthogonal zu$\xi^\alpha$. Es gab tatsächlich zwei unabhängige (wenn auch verwandte) Gründe dafür. (1) Wir haben$\xi^\alpha \nabla_\alpha (\xi_\beta \eta^\beta)=0$bereitgestellt$\xi^\alpha \xi_\alpha$auf konstant normiert ist. Daher,$\xi_\alpha \eta^\alpha$entlang jeder Geodäte konstant ist, und das Verhalten des "nicht orthogonalen" Teils von$\eta^\alpha$ist uninteressant. (2) Abweichungsvektoren, die sich nur um ein Vielfaches von unterscheiden$\xi^\alpha$stellen eine Verschiebung zu derselben nahegelegenen Geodäte dar. Orthogonalität legt einen natürlichen "Eichzustand" fest$\eta^\alpha$.

Im Falle einer geodätischen Nullkongruenz gelten die oben genannten Gründe für die Einschränkung der Wahl des Abweichungsvektors immer noch, aber sie führen jetzt zu zwei unabhängigen Einschränkungen. Erstens für jeden Abweichungsvektor$\eta^\alpha$, haben wir wieder$k^\alpha \nabla_\alpha (k_\beta \eta^\beta)=0$, So$k^\alpha \eta_\alpha$variiert nicht entlang jeder Geodäte. Dies impliziert, dass ein willkürlicher Abweichungsvektor$\eta^\alpha$kann als Summe eines Vektors geschrieben werden, der nicht orthogonal zu ist$k^\alpha$die sich parallel entlang der Geodäte ausbreitet, plus einem Vektor senkrecht dazu$k^\alpha$.(Beachten Sie jedoch, dass es keine natürliche, einzigartige Art der Zersetzung gibt$\eta^\alpha$auf diese Weise.) Also das Verhalten des "nichtorthogonalen" Teils$\eta^\alpha$wiederum ist uninteressant, und wir können die Betrachtung auf zufriedenstellende Abweichungsvektoren beschränken$\eta^\alpha k_\alpha=0$. Zweitens Abweichungsvektoren, die sich nur um ein Vielfaches von unterscheiden$k^\alpha$stellen wiederum eine Verschiebung zu derselben nahe gelegenen Geodäte dar. Die physikalisch interessante Größe ist also eigentlich die Äquivalenzklasse der Abweichungsvektoren, wobei zwei Abweichungsvektoren als äquivalent angesehen werden, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von beträgt$k^\alpha$.Seit$k^\alpha$null und damit orthogonal zu sich selbst ist, ist diese zweite Einschränkung unabhängig von der ersten Einschränkung und reduziert die physikalisch interessante Klasse von Abweichungsvektoren auf einen zweidimensionalen Unterraum.

1. Ich kann den zweiten Grund im zeitähnlichen und im Nullfallfall nicht verstehen, dh was bedeutet er, dass sich Abweichungsvektoren um ein Vielfaches von unterscheiden$\xi^\alpha$in zeitähnlichem oder$k^\alpha$für den Nullfall wird die Verschiebung zu derselben nahegelegenen Geodäte dargestellt?

2. Wie reduziert diese Argumentation im Nullfall Abweichungsvektoren auf einen zweidimensionalen Unterraum?