Gerade Nullgeodäten in Minkowski, De Sitter und Schwarzschild

Question

Gerade Nullgeodäten in Minkowski, De Sitter und Schwarzschild

Woster

Ich versuche zu verstehen, welcher Teil der folgenden Metrik bestimmt, ob sich Photonen auf einer "geraden" Linie bewegen (denken Sie an $(t,r,\theta,\phi)$ als flacher Hintergrund), die Metrik, die ich in Betracht ziehe, ist:

D S^{2} = - F (R) D T^{2} + F (R)^{- 1} D R^{2} + R^{2} D Ω^{2}

$ds^2 = -F(r)dt^2 + F(r)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$

Im Fall Minkowski ( $F = 1$ ) ist leicht zu erkennen, dass sich die Geodäten auf geraden Linien bewegen, da wir sie in kartesische Koordinaten umwandeln und dies sofort sehen können.

Meine Schwierigkeit besteht darin, den Unterschied zwischen "de Sitter"-Raum ( $F(r) = 1 - r^2$ ) und "Schwarzschild" ( $F(r) = 1 - \frac{1}{r}$ ). In diesen beiden Fällen ist die $\phi$ Bewegungsgleichung ist die gleiche:

2 R \dot{R} \dot{ϕ} + R^{2} \ddot{ϕ} = 0

$2r\dot{r}\dot{\phi} + r^2 \ddot{\phi} = 0$

Dann scheint es durch die Einzigartigkeit der Lösungen zu ODEs, dass wenn $\phi = 0$ Und $\dot{\phi}=0$ zunächst dann $\phi=0$ für alle s (s ist der geodätische Parameter). (Dies ist immerhin das gleiche übliche Argument für die Beschränkung auf die Äquatorialebene, wenn unsere Metrik kugelsymmetrisch ist - richtig?)

Jetzt kämpfe ich darum zu verstehen, wie die Natur von $F$ sagt uns, ob die Null-Geodäten gerade sind - im Fall von De Sitter verstehe ich, dass Photonen sich auf geraden Linien bewegen sollten und im Fall von Schwarzschild eindeutig nicht (z. B. Gravitationslinsen).

Levitopher

Sie müssen nach der Umlaufbahn auflösen, um festzustellen, ob sich ein Objekt "in einer geraden Linie" bewegt. Für den von Ihnen angegebenen Fall (Null Anfangsgeschwindigkeit in der

ϕ

$\phi$ Richtung), erhalten Sie trotzdem eine geradlinige Bewegung (richtig aber

r = 0

$r=0$ ).

Levitopher

mögliche Antwort? physical.stackexchange.com/q/205125

Woster

@levitopher Danke für deinen Kommentar - sicher, in diesem Fall gehen sie direkt durch den Ursprung - ich habe diese Gleichung nur als Beispiel aufgeschrieben, dass diese beiden Metriken dieselben Bewegungsgleichungen haben (außer in der r-Richtung) und wo ist der Unterschied, der zu nicht geraden Bahnen führt. Die verknüpfte Antwort beantwortet die Frage nicht wirklich - ich würde wirklich gerne ein Argument sehen, das direkt aus den geodätischen Gleichungen stammt. Ich kenne das konforme Diagramm für den de Sitter-Raum. Danke

Levitopher

Ok, aber die Antwort ergibt sich aus den Unterschieden in der radialen Bewegungsgleichung. Ich denke, das Beste, was Sie tun können, ist, die geodätischen Gleichungen für eine generische Funktion zu lösen

F

$F$ , und beachten Sie, dass Sie Ableitungen dieser Funktion nehmen müssen. Andere Funktionen, andere Derivate. Tatsächlich zeigt Ihnen die Wikipedia-Seite fast genau, was ich meine: en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics , gehen Sie nach unten zu "Mathematische Ableitung der Bahngleichung" und vergleichen Sie mit dem, was Sie haben.

Woster

Okay danke. Ich kämpfe immer noch damit, zu sehen, wie wir im de Sitter-Fall zeigen könnten, dass sich Geodäten auf geraden Linien fortbewegen. Kennen Sie die Details dazu?

Prahar

Was ist hier die Definition von straight line?

Woster

@Prahar Wie in der ersten Zeile der Frage denke ich an

(t, r, θ, ϕ)

$(t,r,\theta, \phi)$ als flache "Hintergrund"-Koordinaten, also eine gerade Linie bezüglich dieser Koordinaten.

Prahar

@ Wooster - OK. Warum lösen Sie nicht einfach die geodätische Gleichung in der

(t, r, θ, ϕ)

$(t,r,\theta,\phi)$ Koordinaten und sehen Sie, ob Sie eine gerade Linie erhalten oder nicht. PS - Dies scheint keine gute koordinateninvariante Frage zu sein. Diese Antwort enthält keine Physik. Warum müssen Sie diese Frage beantworten?

Woster

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Nun, ich war daran interessiert, diesen Unterschied zwischen Schwarzschild und De Sitter zu verstehen, und zu zeigen, dass die Geodäten gerade Linien sind, ist aus den geodätischen Gleichungen nicht sofort ersichtlich. Ich bin mir nicht sicher, dass, nur weil etwas nicht koordinateninvariant ist, es keine Physik ist.

Prahar

Nun, so war es nicht gemeint. Es ist nur so, dass Ihre Definition einer geraden Linie höchst unphysikalisch zu sein scheint. Wie auch immer, was meinst du damit, dass es nicht offensichtlich ist, ob Geodäten gerade Linien sind oder nicht? Sie können davon ausgehen, dass dies der Fall ist, und prüfen, ob die geodätischen Gleichungen erfüllt sind. Wenn dies nicht der Fall ist, sind die Geodäten nicht gerade. Dies ist ein einfacher Test.

Woster

@Prahar Ich habe eine Antwort hinzugefügt, die ich im Sinn hatte. Es ist nicht ganz trivial und leicht interessant, eine allgemeine Einschränkung zu erhalten

F

$F$ aber ich stimme zu, dass es letztendlich nur das Lösen der geodätischen Gleichungen ist, und ich denke, ob dies in diesem eher künstlichen Aufbau gerade Linien sind oder nicht, ist keine physikalisch interessante Frage!

Antworten (2)

Gerade Nullgeodäten in Minkowski, De Sitter und Schwarzschild

Sie müssen nach der Umlaufbahn auflösen, um festzustellen, ob sich ein Objekt "in einer geraden Linie" bewegt. Für den von Ihnen angegebenen Fall (Null Anfangsgeschwindigkeit in der $\phi$ Richtung), erhalten Sie trotzdem eine geradlinige Bewegung (richtig aber $r=0$ ).
@levitopher Danke für deinen Kommentar - sicher, in diesem Fall gehen sie direkt durch den Ursprung - ich habe diese Gleichung nur als Beispiel aufgeschrieben, dass diese beiden Metriken dieselben Bewegungsgleichungen haben (außer in der r-Richtung) und wo ist der Unterschied, der zu nicht geraden Bahnen führt. Die verknüpfte Antwort beantwortet die Frage nicht wirklich - ich würde wirklich gerne ein Argument sehen, das direkt aus den geodätischen Gleichungen stammt. Ich kenne das konforme Diagramm für den de Sitter-Raum. Danke
Ok, aber die Antwort ergibt sich aus den Unterschieden in der radialen Bewegungsgleichung. Ich denke, das Beste, was Sie tun können, ist, die geodätischen Gleichungen für eine generische Funktion zu lösen $F$ , und beachten Sie, dass Sie Ableitungen dieser Funktion nehmen müssen. Andere Funktionen, andere Derivate. Tatsächlich zeigt Ihnen die Wikipedia-Seite fast genau, was ich meine: en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics , gehen Sie nach unten zu "Mathematische Ableitung der Bahngleichung" und vergleichen Sie mit dem, was Sie haben.
Okay danke. Ich kämpfe immer noch damit, zu sehen, wie wir im de Sitter-Fall zeigen könnten, dass sich Geodäten auf geraden Linien fortbewegen. Kennen Sie die Details dazu?
@Prahar Wie in der ersten Zeile der Frage denke ich an $(t,r,\theta, \phi)$ als flache "Hintergrund"-Koordinaten, also eine gerade Linie bezüglich dieser Koordinaten.
@ Wooster - OK. Warum lösen Sie nicht einfach die geodätische Gleichung in der $(t,r,\theta,\phi)$ Koordinaten und sehen Sie, ob Sie eine gerade Linie erhalten oder nicht. PS - Dies scheint keine gute koordinateninvariante Frage zu sein. Diese Antwort enthält keine Physik. Warum müssen Sie diese Frage beantworten?
Vielen Dank für Ihren Kommentar. Nun, ich war daran interessiert, diesen Unterschied zwischen Schwarzschild und De Sitter zu verstehen, und zu zeigen, dass die Geodäten gerade Linien sind, ist aus den geodätischen Gleichungen nicht sofort ersichtlich. Ich bin mir nicht sicher, dass, nur weil etwas nicht koordinateninvariant ist, es keine Physik ist.
Nun, so war es nicht gemeint. Es ist nur so, dass Ihre Definition einer geraden Linie höchst unphysikalisch zu sein scheint. Wie auch immer, was meinst du damit, dass es nicht offensichtlich ist, ob Geodäten gerade Linien sind oder nicht? Sie können davon ausgehen, dass dies der Fall ist, und prüfen, ob die geodätischen Gleichungen erfüllt sind. Wenn dies nicht der Fall ist, sind die Geodäten nicht gerade. Dies ist ein einfacher Test.
@Prahar Ich habe eine Antwort hinzugefügt, die ich im Sinn hatte. Es ist nicht ganz trivial und leicht interessant, eine allgemeine Einschränkung zu erhalten $F$ aber ich stimme zu, dass es letztendlich nur das Lösen der geodätischen Gleichungen ist, und ich denke, ob dies in diesem eher künstlichen Aufbau gerade Linien sind oder nicht, ist keine physikalisch interessante Frage!

Woster · Answer 1

Die Lagrange-Funktion für dieses Problem können wir mit general aufschreiben $F$ : (beschränkt auf die Äquatorialebene)

L = - F (R) {\dot{T}}^{2} + F (R)^{- 1} {\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{ϕ}}^{2}

$L = -F(r)\dot{t}^2 + F(r)^{-1}\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2$

Verwenden Sie nun die Erhaltungsgrößen (Energie und Drehimpuls) und verwenden Sie die bequeme Substitution $u = \frac{1}{r}$ und Umschreiben des Problems als Differentialgleichung für $u = u(\phi)$ wir finden folgendes:

\frac{D^{2} u}{D ϕ^{2}} + \frac{u^{2}}{2} F^{'} (u) + u F (u) = 0

$\frac{d^2u}{d\phi^2} + \frac{u^2}{2}F'(u) + uF(u) = 0$

Jetzt müssen wir wegen der Rotationssymmetrie nur geradlinige Lösungen betrachten $u = k \cos \phi$ für eine Konstante k und wenn wir dies in unser Problem einsetzen, stellen wir fest, dass wir genau dann geradlinige Lösungen haben, wenn $F$ erfüllt die Differentialgleichung:

F^{'} (u) + 2 F (u) - 2 = 0

$F'(u) + 2F(u) - 2 = 0$

Dies gilt insbesondere für den Fall De Sitter, nicht aber für den Fall Schwarzschild. (Wir haben natürlich auch die Einschränkung, dass $F$ muss so sein, dass die Metrik Einsteins Gleichung löst und ich glaube, dass dies die einzigen zwei nicht-trivialen Fälle sind)

Levitopher · Answer 2

Die Berechnung der geodätischen Gleichungen in etwas wie De Sitter ist nicht schwer, aber es wurde bereits gemacht, also werde ich sie nur verlinken. Zum Beispiel habe ich eine These von jemandem namens Chris Ripkin gefunden:

http://www.ru.nl/publish/pages/760966/thesis_chris_ripken.pdf

Gehen Sie zu Kapitel 3, „Geodäten“. Da De Sitter maximal symmetrisch ist, haben die Geodäten konstante Winkelkoordinaten. Sie können die radialen Koordinaten im Link überprüfen, aber dies sind gerade, radiale Pfade.

Ich vermute, das Problem mit dem, was Sie zu tun versuchen (bestimmen Sie, wie die Natur von $F$ charakterisiert die Geodäten) ist, dass Sie den Grund nicht berücksichtigen $F$ hat die spezifische Form, die es tut. Die Einstein-Gleichungen für DeSitter sind

R_{μ v} = Λ G_{μ v}

$R_{\mu\nu}=\Lambda g_{\mu\nu}$ (Vakuumuniversum mit kosmologischer Konstante). Wenn wir die Metrik gefunden haben, setzen wir außerdem die Integrationskonstante

M = 0

$M=0$ . Für Schwarzschild nehmen wir eine kosmologische Konstante von Null und eine Integrationskonstante ungleich Null an

M

$M$ . Ok, wir haben mit der gleichen Form für die Metrik begonnen, aber diese beiden Optionen geben Ihnen zwei sehr unterschiedliche Geometrien.

Da es also maximal symmetrisch ist, reicht es aus, zu zeigen, dass die Geodäte durch den Ursprung gerade ist?

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