Bewegungsgleichung eines Photons in einer gegebenen Metrik

Wenn Ihre Lösung keine Null-Geodäte ist, dann ist sie für ein masseloses Teilchen falsch.

Der Grund, warum Sie in die Irre gehen, ist, dass Lagrange, den Sie in (1) eingeben, für masselose Teilchen falsch ist. Die allgemeine Aktion für ein Teilchen (massiv oder masselos) ist:

$$S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \left( \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 + \frac{m^2}{\sigma(\xi)}\right),$$

wo$\xi$ein willkürlicher Weltlinienparameter ist und$\sigma(\xi)$eine Hilfsvariable, die durch ihre Bewegungsgleichung eliminiert werden muss. Beachten Sie auch die Notation

$$\left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2\equiv \pm g_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}X^\mu}{\mathrm{d}\xi}\frac{\mathrm{d}X^\nu}{\mathrm{d}\xi},$$

modulo Ihre metrische Vorzeichenkonvention (ich habe nicht überprüft, welche für Ihre Konvention geeignet ist). Überprüfen Sie das für$m\neq 0$diese Aktion reduziert sich auf die übliche Aktion für ein massives Teilchen. Für den masselosen Fall erhalten Sie jedoch

$$S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2.$$

Die Bewegungsgleichung für$\sigma$gibt die Einschränkung

$$\left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 = 0,$$

für eine Nullgeodäte. Wie Sie wissen, ist dies für masselose Teilchen notwendig und folgerichtig.

Die Bewegungsgleichung für$X^\mu$ist ( EDIT : Hoppla, ich habe hier einen Begriff vergessen. Beachten Sie das$g_{\mu\nu}$kommt drauf an$X$also ein Begriff mit$\partial_\rho g_{\mu\nu}$kommt in die Variation. Versuchen Sie, es selbst zu erarbeiten. Ich werde die folgenden Gleichungen später korrigieren):

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\sigma g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\xi}\right)=0,$$

aber Sie können den Parameter ändern$\xi\to\lambda$so dass$\sigma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}$, also vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}\right)=0,$$

die Sie lösen können sollten, um etwas zu erhalten, das die Nullbedingung erfüllt.

I) Nun, in 1+1-Dimensionen ist der Lichtkegel (basierend auf einem bestimmten Punkt) nur zwei sich schneidende Kurven, die durch die Bedingung genau bestimmt werden

$$\tag{1} g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~=~0,$$

und eine Anfangsbedingung vgl. OPs zweite Methode. Diese Gl. (1) wird keine lichtähnlichen Geodäten in höheren Dimensionen bestimmen.

II) OPs erste Methode, nämlich die Lagrange-Funktion zu variieren

$$\tag{2} L~:=~ g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$$

ist grundsätzlich auch richtig. Es ist eine schöne Übung zu zeigen, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen die geodätischen Gleichungen sind. Es scheint jedoch, dass OP den Parameter fälschlicherweise identifiziert$\lambda$der Geodätischen mit der$x^0$-Koordinate. Das sind zwei verschiedene Dinge! In 1+1-Dimensionen haben wir zwei Koordinaten$x^0$und$x^1$. Es gibt zwei Euler-Lagrange-Gleichungen. Die Komplettlösung für$\lambda\mapsto x^0(\lambda)$und$\lambda\mapsto x^1(\lambda)$werden alle Geodäten sein: zeitartig, lichtartig und raumartig.

Da uns nur lichtartige Geodäten interessieren , müssten wir noch Gl. (1) im Euler-Lagrange-Verfahren.

III) Wenn man eine Koordinatentransformation durchführt

$$\tag{3} u~=~\exp(-\frac{x^0}{2})\quad\text{and}\quad v~=~\frac{x^1}{2},$$

dann wird die Metrik von OP

$$\tag{4} \frac{4}{u^2}(-du^2+dv^2)$$

was zB auch in diesem Phys.SE-Beitrag berücksichtigt wird (bis auf einen insgesamt konstanten Faktor). Offensichtlich sind die lichtähnlichen Geodäten von der Form

$$\tag{5} v-v_0~=~ \pm (u-u_0).$$

Es gibt eine elegante Möglichkeit, dies mit Symmetrien zu tun.

Beachten Sie, dass diese Metrik raumübersetzungsinvariant ist, also einen Tötungsvektor hat$\partial_x$. Es gibt eine entsprechende Erhaltungsgröße$c_x$entlang Geodäten$x^\mu(\lambda)$gegeben von

$$\begin{align} c_x = g_{\mu\nu}\dot x^\mu(\partial_x)^\nu = e^t\dot x \end{align}$$ Wobei ein Überpunkt die Differenzierung in Bezug auf den affinen Parameter bezeichnet. Andererseits ist die Tatsache, dass die gewünschte Geodäte eine (Null-)Photonen-Geodäte ist, entlang derer $ds^2 = 0$gibt $$\begin{align} 0=-\dot t^2 + e^t\dot x^2 \end{align}$$ Dies bildet einen Satz gekoppelter Differentialgleichungen, der eigentlich nicht so schwer zu lösen ist. Hinweis: Versuchen Sie, die erste Gleichung für zu lösen $\dot x$, und dann in die zweite Gleichung einsetzen.