Die Einstein-Hilbert-Aktion liefert nicht die gleichen Ergebnisse wie die Einstein-Feldgleichungen für eine bestimmte Metrik

Ich versuche, die Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung für eine metrische Variable abzuleiten, indem ich zwei Ansätze verwende: die formalen Vakuum-Einstein-Feldgleichungen (mit T μ v = 0 )

G μ v = R μ v − 1 2 G μ v R = 0

und unter Verwendung der Einstein-Hilbert-Aktion

S = 1 16 π G ∫ D 4 X − G R

für die folgende generische Metrik

D S 2 = − F ( R ) D T 2 + 1 F ( R ) D R 2 + R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 ) .

Diese Metrik erfüllt die Vakuum-Einstein-Gleichung, daher sollten die Einstein-Feldgleichungen (EFEs) mit den Euler-Lagrange-Gleichungen übereinstimmen, die unter Verwendung der Einstein-Hilbert-Aktion (EH) abgeleitet wurden. Dies ist jedoch nicht der Fall. Insbesondere können wir unter Verwendung der EFEs 2 unabhängige Differentialgleichungen ableiten, die die metrische Funktion haben F ( R ) muss befriedigen, und das sind sie

( μ v ) = ( T T ) : G T T = F ( R ) R 2 ( − 1 + F ( R ) + R F ' ( R ) ) = 0

( μ v ) = ( θ θ ) : G θ θ = 1 2 R ( 2 F ' ( R ) + R F ″ ( R ) ) = 0

während G R R = − 1 F 2 ( R ) G T T Und G ϕ ϕ = Sünde 2 ⁡ θ G θ θ . Von den EFEs müssen wir also 2 Differentialgleichungen lösen, und die Lösung kann direkt als verifiziert werden

F ( R ) = 1 − 2 G M R

was bedeutet, dass wir die Schwarzschild-Metrik haben.

Wenn wir andererseits mit der Einstein-Hilbert-Aktion (EH) beginnen,

S E H = 1 16 π G ∫ D 4 X L mit L = − G R = − Sünde ⁡ θ ( − 2 + 2 F ( R ) + 4 R F ' ( R ) + R 2 F ″ ( R ) )

und verwenden Sie die Euler-Lagrange-Variation, um die zu erfüllenden Differentialgleichungen herzuleiten F ( R ) , haben wir höchstens eine Gleichung, nicht zwei. (Wir müssen auch den Begriff umwandeln, der enthält F ″ ( R ) hinein F ' ( R ) mit ganzzahligen Teilen, so dass L höchstens enthält F ' ( R ) bei Derivaten). Die einzige Feldvariable hier ist F ( R ) , also ist nur eine Euler-Lagrange-Gleichung möglich, und das ist

∂ L ∂ F ( R ) − ∂ R ( ∂ L ∂ F ' ( R ) ) = 0

Gemäß dieser Analyse gibt es also keine Möglichkeit, die beiden Differentialgleichungen, die sich aus den EFEs ergeben, unter Verwendung der EH-Aktion wiederherzustellen. Dieses offensichtliche Rätsel bleibt bei allen Formen von Metriken bestehen, nicht nur bei der einfachen, die in diesem Beispiel oben verwendet wird. Im Allgemeinen ist bei Verwendung der EH-Aktion mit der Euler-Lagrange-Variation die Anzahl der abgeleiteten Gleichungen immer kleiner als die Anzahl der Gleichungen, die unter Verwendung der EFEs erhalten werden.

Ich vermute, dass ich hier etwas Grundlegendes übersehen habe, und ich würde es sehr schätzen, wenn mich jemand auf eine Antwort hinweisen könnte.

ist da nicht die gleichung ∂ θ L = 0 zu?
Nein, da es keine Feldvariable abhängig von gibt θ , dh nein F ( θ ) .
Sie erkennen, dass Sie die Variation der Lagrange-Funktion auf das Feld bringen müssen G , Ja? Wenn Sie dies tun, erhalten Sie Einstens Gleichungen zurück.
Das "Feld" g, auf das Sie sich hier beziehen, ist die metrische Funktion f(r). Die Metrik ist hier nur durch eine Funktion f(r) charakterisiert.
Ihr Lagrangian hängt von zweiten Ableitungen der metrischen Funktion ab!!!!! Seien Sie vorsichtig mit Euler-Lagrange-Gleichungen!!!!
Ja, das stimmt - deshalb habe ich einen Kommentar zu integral by part eingefügt, um f''(r) in f'(r) umzuwandeln. Zum Beispiel können wir haben R 2 F ″ ( R ) wurde zu − 2 R F ' ( R ) nach dem Verwerfen des Randterms, aber das löst immer noch nicht das Problem, dass die Anzahl der resultierenden Gleichungen kleiner ist als erwartet.
Ableitung von nehmen G T T ergibt die G θ θ Gleichung, also hast du nur eine echte Gleichung
Das ist richtig ! Vielen Dank.

Antworten (4)

Es gibt 10 unabhängige Komponenten der Metrik und 10 Einstein-Feldgleichungen. Auf den ersten Blick scheint das zusammenzupassen, 10 Gleichungen für 10 Unbekannte.

Es stellt sich jedoch heraus, dass 4 der EFEs tatsächlich nicht dynamisch sind. Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, beginnt mit der Tatsache, dass der Einstein-Tensor divergenzlos ist ∇ μ G μ v = 0 . Wir können dies umschreiben als

∂ 0 G 0 v = − ∂ ich G ich v − Γ μ κ v G μ κ − Γ μ κ μ G κ v

Da die rechte Seite höchstens zweite zeitliche Ableitungen der Metrik enthält, G 0 v kann höchstens erste zeitliche Ableitungen der Metrik enthalten. Daher sind diese Komponenten keine dynamischen Gleichungen, sie drücken eine Beschränkung auf die Anfangsbedingungen aus, die die anderen Gleichungen einhalten müssen.

Das scheint zu implizieren, dass die Einstein-Gleichungen unterbestimmt sind, aber wir dürfen nicht vergessen, dass es auch vier Freiheitsgrade bei der Auswahl eines Messgeräts für die Metrik gibt, die Freiheit, die wir bei der Wahl unserer Koordinaten haben.

Da Ihr Ansatz all diese Freiheiten verbraucht und nicht dynamisch ist, sollte es sich um eine reine Einschränkung handeln. Bilden der Ableitung bzgl R des G T T Komponente des Einstein-Tensors ergibt die G θ θ Komponente, die zeigt, dass Sie nur eine echte Gleichung haben.

Ich verstehe nicht ganz, wie dies die Variation der Aktion erklärt, die nicht funktioniert, aber ich weiß, wie ich das beheben kann, indem ich wieder ein bisschen Freiheit einführe. Stattdessen als Ansatz nehmen

D S 2 = − N 2 ( T ) F ( R ) D T 2 + 1 F ( R ) D R 2 + R 2 D Ω 2 ,

wo ich einfach eine Funktion hinzugefügt habe N ( T ) . Nach einigen Runden teilweiser Integration wird die Aktion proportional sein

S ∝ ∫ D R D T N ( − 1 + F + R F ' )

N ist eine nicht dynamische Variable, die ohne Ableitungen auftritt und als Lagrange-Multiplikator wirkt. Seine Euler-Lagrange-Gleichung erzwingt die entsprechende Einschränkung G T T Komponente der Einstein-Feldgleichungen, die Sie dann lösen können, um schließlich die Schwarzschild-Metrik zu finden. In einem Sinn, N drückt die Freiheit aus, die wir bei der Wahl der Zeitkoordinate haben, die wiederum der entspricht G T T Feldgleichung.

Das ist in der Tat, wonach ich gesucht habe! Vielen Dank nochmal. Hinzufügen der N ( T ) Gauge ist brillant für diesen Fall, wo die metrische Funktion nur davon abhängt R und nicht T , daher gibt es keine N ' ( T ) . Ich möchte 1 Punkt klarstellen: Wird dies N ( T ) Eicharbeit für Ansatz mit zeitabhängigen Faktoren, zB die FRLW-Metrik mit an A ( T ) Faktor vor dem Raumteil? Jetzt hängt alles von der Zeit ab, und N ( T ) muss selbst dynamisch werden, es sei denn, wir nehmen nach der EL-Variation die Grenze N ( T ) → 1 , N ' ( T ) → 0 ?
@ user195583 Probieren Sie es selbst mit FLRW aus :) Sie werden feststellen, dass es genauso gut funktioniert, wobei jede Zeitableitung von N durch teilweise Integration entfernbar ist. Diese Methode kann verallgemeinert werden, und es stellt sich heraus, dass die allgemeine Relativitätstheorie in gewissem Sinne völlig nicht dynamisch ist, dh sie besteht nur aus Beschränkungen. Stichworte sind hier „ADM-Formalismus“ oder „3+1-Zerlegung“
Es funktioniert auch mit FLRW :) Ich habe die 2 Friedmann-Gleichungen erhalten, nachdem ich die EL-Variation gemacht und das Limit genommen habe N ( T ) → 1 , N ' ( T ) → 0 .

Das Problem bei Ihrer Ableitung unter Verwendung des Aktionsprinzips besteht darin, dass Sie den Zustandsraum, in dem Ihr Lagrange definiert ist, stark eingeschränkt haben. Sie vermuten, dass die Metrik die Form hat

D S 2 = − F ( R ) D T 2 + F ( R ) − 1 D R 2 + R 2 D Ω
mit D Ω das 2-Sphären-Volumen. Wenn Sie sich den Zustandsraum ansehen, dh den Raum der Metriken auf Ihrer Mannigfaltigkeit, sind die Metriken dieser Form nur ein Unterraum, der durch parametrisiert wird F . In Ihrer Ableitung haben Sie versucht, in diesem Unterraum des Zustandsraums zu variieren und somit Einschränkungen in Ihr System einzuführen, die es zwingen, auf der Einschränkungsoberfläche zu bleiben. Es gibt jedoch keinen Grund, unser System in diesem Fall einzuschränken, und es ist einfacher, eine Variation des vollständigen Zustandsraums vorzunehmen. Sicher, die spezifische Form der Metrik kann durch Symmetrie begründet werden, aber der Umgang mit Einschränkungen kann die Dinge ziemlich kompliziert machen.

Dies ist wahrscheinlich nicht die Antwort, die Sie sich erhofft haben, aber ich hoffe, es hilft Ihnen trotzdem!

Beifall!

Die Anzahl der Gleichungen, die Sie aus der spezialisierten EH-Aktion erhalten (diejenige mit dem Ansatz, der eingefügt wird, bevor die Euler-Lagrange-Gleichungen abgeleitet werden) ist nicht wirklich kleiner. Es sieht nur wegen der Gleichungen kleiner aus, für die Sie erhalten F aus der allgemeinen EH-Aktion sind überflüssig. Der ( T T ) Gleichung impliziert, dass entweder F = 0 oder − 1 + F + R F ' = 0 , und beide Fälle implizieren automatisch 2 F ' + R F ″ = 0 , was wiederum die impliziert ( θ θ ) Gleichung.

Danke ! Das stimmt, wie auch von @Kasper oben darauf hingewiesen wurde, dass die Ableitung von G T T Erträge G θ θ . Also gibt es im Allgemeinen eine gewisse Redundanz in den EFEs im Vergleich zu der spezialisierten EH-Aktion? Ich glaube, ich habe dies in einigen Fällen mit allgemeineren Ansätzen (mit mehr metrischen Funktionen) beobachtet F 1 ( R ) , F 2 ( R ) usw. ).
@ user195583 Intuition: Let A ein Ansatz sein, der eine Lösung enthält X zu den allgemeinen EL-Gleichungen. Beginnen wir mit den EL-Gleichungen aus der allgemeinen Aktion und spezialisieren dann die EL-Gleichungen auf den Ansatz A , sind die resultierenden spezialisierten EL-Gleichungen typischerweise redundant. Intuitiv liegt das am Ansatz A enthält eine Lösung X , also Spezialisierung auf den Ansatz A verwendet implizit Informationen aus den allgemeinen EL-Gleichungen, was sie in einigen Aspekten überflüssig macht. Wir können diese Redundanz vermeiden, indem wir die Aktion zuerst auf spezialisieren A und dann Ableiten der EL-Gleichungen.

Die Funktion F ( R ) Hier spielt nicht das dynamische Feld eine Rolle, sondern die Metrik . Dies bedeutet, dass Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht einfach in Bezug auf ableiten können F , sondern Sie sollten die Variation der Aktion in Bezug auf die Metrik berücksichtigen und sie gleich Null setzen. Wenn Sie diesem Verfahren folgen, erhalten Sie die Vakuum-Einstein-Feldgleichungen (modulo einige Probleme, die mit dem Grenzterm zu tun haben), die tatsächlich die Euler-Lagrange-Gleichungen des Systems sind .

Ich habe kein Problem mit der formalen Herleitung der Variation der Einstein-Hilbert-Wirkung, die nachweislich zu den Einstein-Feldgleichungen führt. Wenn wir jedoch mit einem bestimmten Ansatz der Metrik arbeiten, ist es die metrische Funktionsvariable wie f(r), die dynamisch ist. Wie Sie den obigen EFEs entnehmen können, ist f(r) die dynamische Variable in den zu lösenden Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung. Es sollte also auch mit der Einstein-Hilbert-Aktion funktionieren, was bedeutet, dass seine Variation die gleichen Ergebnisse wie die EFEs liefern sollte.
f(r) ist ebensowenig eine dynamische Variable wie jeder andere metrische Koeffizient. Die Metrik ist keine Sammlung disjunkter Objekte, sie ist ein einzelner Tensor und sollte als solcher betrachtet werden. einen Ansatz zu machen, verwandelt das inhärent tensorische Feld nicht in ein skalares Feld. Die Euler-Lagrange-Gleichungen dieser Tensor-Feldwirkung, also die Einstein-Feldgleichungen, sind also immer noch die das System beschreibenden Bewegungsgleichungen.
Das ist nicht richtig, beim Variieren der Aktion gibt es keinen Grund, warum nur die Variation bzgl. der metrischen Komponenten korrekt wäre. Jede mögliche Variation muss Null sein.
@Kasper An wen richtest du den Spruch "Das stimmt nicht"?
Ich fürchte, ich bin nicht deiner Meinung @A.Ok
@Kasper Dachte schon. aber ich verstehe nicht, was die Meinungsverschiedenheit ist. "Wenn Sie die Aktion variieren, gibt es keinen Grund, warum nur die Variation der Metrikkomponenten korrekt wäre", sagen Sie, aber das ist genau meine Behauptung - "Die Metrik ist keine Sammlung disjunkter Objekte, sie ist ein einzelner Tensor und sollte berücksichtigt werden als solche", was bedeutet, dass eine Variation bezüglich der metrischen Komponenten allein nicht ausreicht, "sondern Sie sollten die Variation der Aktion in Bezug auf die Metrik berücksichtigen", wie ich in meiner Antwort sagte.
Die Einstein-Hilbert-Aktion liefert nicht die gleichen Ergebnisse wie die Einstein-Feldgleichungen für eine bestimmte Metrik
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