Geodäten aus Variationsprinzip bezüglich Koordinaten?

Eine Geodäte kann durch jeden Parameter parametrisiert werden, der entlang der Geodäte monoton ansteigt. Für zeitähnliche Geodäten, die wir im Sinn haben, wenn wir sie durch Minimierung ableiten$\int d\tau$, können wir eine Koordinate verwenden$t$als Parameter das entsprechende Vektorfeld bereitgestellt$\partial/\partial t$ist überall zeitgemäß. Dies stellt das sicher$t$nimmt entlang jeder zeitartigen Weltlinie monoton zu. Der Haken ist, dass die geodätische Gleichung durch Extremisierung des Integrals von entsteht$\sqrt{L}$, was nicht unbedingt die übliche Euler-Lagrange-Gleichung für ergibt$L$.

Um zu sehen, wie das funktioniert, beginnen Sie mit

$$L(\lambda) = g_{ab}\dot x^a \dot x^b$$ Wo$\dot x^a \equiv dx^a/d\lambda$, Wo$\lambda$ist jeder Parameter, der entlang zeitähnlicher Weltlinien monoton ansteigt. Die Quantität $$\int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda$$ ist reparametrisierungsinvariant (intuitiv ist die$d\lambda$'s cancel), also ist es das gleiche, egal welcher Parameter$\lambda$wir gebrauchen. Insbesondere ist es gleich, ob oder nicht$\lambda$am Ende die richtige Zeit der Weltlinie ist; es muss nicht einmal ein affiner Parameter sein. Insbesondere kann es eine der Koordinaten sein , wenn diese Koordinate entlang aller zeitähnlichen Weltlinien monoton wächst.

Die geodätische Bedingung ist

$$0=\delta \int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda.$$ Verwenden $$\begin{align} \delta \int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda &\propto \int \frac{1}{\sqrt{L}}\left( \frac{\partial L}{\partial x^a}\delta x^a + \frac{\partial L}{\partial \dot x^a}\delta \dot x^a \right)d\lambda \\ &= \int \left( \frac{1}{\sqrt{L}}\frac{\partial L}{\partial x^a} - \frac{d}{d\lambda}\left[\frac{1}{\sqrt{L}} \frac{\partial L}{\partial \dot x^a}\right] \right)\delta x^a\,d\lambda \end{align}$$ zu schließen, dass die geodätische Gleichung ist $$\frac{\partial L}{\partial x^a} - \sqrt{L}\frac{d}{d\lambda}\left[\frac{1}{\sqrt{L}} \frac{\partial L}{\partial \dot x^a}\right] =0.$$ In dem speziellen Fall, wo der Parameter$\lambda$gleich (im Nachhinein betrachtet) der Eigenzeit der Wortleitung gesetzt wird, vereinfacht sich die Gleichung, weil$L=1$In diesem Fall. Allgemeiner gilt für einen affinen Parameter (per Definition)$L=$konstant, also vereinfacht sich die Gleichung wieder auf die gleiche Weise und lässt die übliche Euler-Lagrange-Gleichung übrig. Aber für einen allgemeinen Parameter, wie z. B. eine zeitähnliche Koordinate, vereinfacht sich die Gleichung nicht auf diese Weise; die Ableitung bzgl$\lambda$wirkt sich nicht trivial auf den Faktor aus$\sqrt{L}$, was zu einem zusätzlichen Term im Vergleich zur üblichen Form der geodätischen Gleichung führt. Trotz des zusätzlichen Terms ist das Ergebnis korrekt. Die Reparametrisierungsinvarianz von$\int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda$impliziert, dass die resultierende Gleichung denselben Satz von Weltlinien (die wir Geodäten nennen) auswählt, unabhängig davon, welche monotone Parametrisierung wir verwendet haben.

Kommentare zum Beitrag (v2):

1. Beachten Sie, dass man die richtige Zeit nicht verwenden kann$\tau$(oder Bogenlänge) als unabhängiger Parameter$\lambda$ bevor Sie das Prinzip der stationären Aktion anwenden , um Geodäten zu finden. Dies wird in meiner Phys.SE-Antwort hier erklärt , die auch die Verbindung zum entsprechenden Quadratwurzel-Lagrange erklärt.

2. Für die Nicht-Quadratwurzel-Lagrangefunktion wird erst nach Durchführung der Variation eine stationäre Lösung bzgl. affin parametrisiert. richtige Zeit$\tau$(wenn die Geodäte zeitartig ist, dh wenn das Punktteilchen massiv ist).