Geodäten: Am geradesten oder am kürzesten? Wann und warum?

In der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie (dh nicht modifiziert) kann man sich Geodäten auf zwei Arten vorstellen.

  1. Eine Möglichkeit ist zu sagen, dass eine Geodäte die Kurve ist, die (in Analogie zum flachen Fall) unter allen Kurven die geradeste ist. Die Geschichte geht ungefähr so ​​(korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege): Im flachen Fall sind Geodäten von der Form x μ ( s ) = s t μ + b μ wo t und b sind konstante Vektoren und s ist der Kurvenparameter. Der Kurventangentenvektor ist d x μ d s = t = c Ö n s t Also

    d t μ d s = t v ∂ v t μ = 0.
    Dies ist eine Tensorgleichung und gilt aufgrund allgemeiner Kovarianz mutatis mutandis in einer allgemeinen Raumzeit :
    t v ∇ v t μ = 0.

  2. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Gleichung zu erhalten, indem das Minimum des Längenfunktionals ermittelt wird

    L = ∫ g ( t , t ) d τ ,
    wir bekommen
    d t μ d τ + Γ a β μ t a t β = 0.
    Die obige Gleichung erweist sich als gerecht t v ∇ v t μ = 0 , mit einer bestimmten Parametrisierungsauswahl.

Die beiden Formulierungen sind somit gleichwertig. Meine Frage ist wann und warum ist das so? Gibt es einen tiefen Grund?

Als ich in Walds Buch nachschlug, fand ich das folgende, für mich unklare Argument:

„Auf einer Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik kann man immer beliebig lange Kurven finden, die zwei beliebige Punkte verbinden. Die Länge wird jedoch von unten begrenzt, und die Kurve kürzester Länge, die zwei Punkte verbindet (unter der Annahme, dass die untere Längengrenze ist erreicht) ist notwendigerweise ein Längenextremum und damit eine Geodäte. Somit ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten immer ein möglichst gerader Weg ."

Später im Buch sagt er auch etwas über konjugierte Punkte.

Ich dachte immer, es hat mit Torsion zu tun: Wenn wir den Zustand lockern Γ a β μ − Γ β a μ = 0 dann ist die Verbindung nicht Levi-Civita, daher δ g L = 0 bleibt aber unverändert t v ∇ v t μ = 0 macht und gibt eine andere geodätische Gleichung.. so Straightest ≠ Am kürzesten mehr.

Kann mir jemand etwas klarstellen?

Sie fragen nach einem "tiefen Grund", warum im flachen Raum die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine gerade Linie ist. Ich glaube nicht, dass es dafür einen "tieferen" Grund gibt als dafür, dass 2 + 2 = 4 .
Die beiden Definitionen sind selten global gleichwertig, der kürzeste Weg ist immer eine Geodäte, aber eine Geodäte ist möglicherweise nicht der kürzeste Weg. Die "tiefen Gründe" sind, dass die Gleichung, die durch Variieren des Längenfunktionals abgeleitet wird, die geodätische Gleichung ist, und ein Theorem, dass Lösungen dafür die Länge minimieren, es sei denn, sie gehen durch konjugierte oder geschnittene Punkte, siehe Schnittort . Wenn die Verbindung jedoch nicht Levi-Civita ist, ist sie nicht mit einer Metrik kompatibel, sodass unklar ist, wie Sie die Längenfunktion definieren.
@tparker zwei Wörter: Oberflächengeometrie.
Ich denke, es ist eigentlich ein geometrisches Axiom, dass Geodäten der geradeste und kürzeste Weg sind. Im Wesentlichen ändert sich die Definition von Geradheit. Immerhin ist geradeaus auf einer Kugel viel kurviger als in einem Flugzeug.
Ich stelle es mir so vor: Geodäten sind das, was wir gerne als gerade Linien in einem Bereich wahrnehmen möchten, der mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet ist . Ich würde vorschlagen, mehr darüber in einem Buch über Differentialgeometrie zu lesen, Do Carmo ist immer eine gute Referenz.
So wie ich es verstehe (Verständnis nur durch das Ansehen von YouTube-Videos gewonnen), wenn wir eine Kugel nehmen und zwei Punkte darauf betrachten würden, wären diese Punkte durch zwei Geodäten verbunden - einer wäre der kürzeste Weg, der andere der längste.
@ChrisBecke Eine Geodäte wäre der kürzeste Weg, aber die andere Geodäte wäre nicht der längste Weg. Wenn Sie auf einer Kugel 2 Endpunkte fixieren, können Sie eine glatte Kurve beliebig großer Länge erzeugen, die sie verbindet. Du kannst zum Beispiel immer beliebig oft herumspiralen, um immer längere Wege zu bekommen.
@Conifold Das Setup des OP für die "geradeste" Seite der Äquivalenz gilt nur im flachen Raum. Ich weiß nicht, wie man überhaupt den Begriff der "geradesten" möglichen Kurve in der gekrümmten Raumzeit definieren würde, wenn nicht auch durch die Forderung t μ ∇ μ t v = 0 oder durch die Anforderung, dass die richtige Länge extremisiert wird. Unter beiden Definitionen wird die Frage des OP trivial, daher nahm ich an, dass es bei ihrer Frage um flachen Raum ging.
@tparker Ein möglichst gerader Pfad ist in gekrümmter Raumzeit absolut sinnvoll, da wir durch die Definition einer Mannigfaltigkeit kleine Nachbarschaften mit infinitesimalen Flecken flacher Raumzeit annähern können. Geodäten werden gebildet, indem aufeinanderfolgende gerade Schritte in diesen entlang Tangentenlinien ausgeführt werden, die durch die Verbindung geeignet gezogen werden.

Antworten (5)

Die beiden Formulierungen sind somit gleichwertig.

Das ist falsch.

Im Fall von raumähnlicher Geodäte, Ihre Definition von L ergibt eine imaginäre Zahl. Die komplexen Zahlen sind kein geordnetes Feld, also gibt es so etwas wie „kürzeste“ nicht.

Es gibt ein ähnliches Problem für Null-Geodäten. Eine Null-Geodäte hat L = 0 , und Störungen einer Null-Geodäte machen können L entweder real oder imaginär.

Auch im zeitartigen Fall kann es vorkommen, dass eine Geodäte keine Maximalzeitkurve ist. Es gibt eine Diskussion darüber bei Misner, Thorne und Wheeler, S. 318.

Die einzige allgemeine Definition einer Geodäte, die funktioniert, ist, dass sie ihren eigenen Tangentenvektor parallel transportiert, dh es ist der geradeste Weg.

Können Sie dieses Problem mit komplexen Zahlen nicht umgehen, indem Sie das Raumzeitintervall fordern ∫ d τ d s 2 statt der richtigen Länge extremisiert werden ∫ d τ d s 2 ?

Obwohl ich es nicht besser erklären kann als Penrose in The Road to Reality, wie Ron Gordon schrieb, ein sehr schönes Buch mit sehr schönen Figuren, dachte ich, ich würde hier einige Bemerkungen machen.

Zu Ihrem Absatz, der mit "Ich dachte immer, es hätte mit Torsion zu tun" beginnt, habe ich ein paar (hoffentlich hilfreiche) Kommentare. Erstens gibt jede affine Verbindung auf einer Mannigfaltigkeit eine Vorstellung von parallelem Transport (und ich stelle fest, dass Ron Gordon das OP bereits auf die Seite für parallelen Transport in Wikipedia verwiesen hat), und so können Sie Geodäten als glatte Kurven definieren, für die der Tangentenvektor parallel ist. Beachten Sie, dass ich keine Metrik erwähnt habe, und tatsächlich kann man über Geodäten sprechen, während man nur eine Verbindung hat.

Was aber, wenn die Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik hat? g ? Die Levi-Civita-Verbindung ist torsionsfrei g -kompatible Verbindung. Ich stelle es mir gerne als in gewissem Sinne kanonisch assoziiert vor g (da eine Metrik gegeben ist, existiert sie und ist einzigartig). In diesem Fall können Sie Geodäten auch als glatte Kurven definieren, bei denen es sich um kritische Punkte des Längenfunktionals handelt, deren Endpunkte fest gehalten werden. Man kann sie auch als kritische Punkte eines Energiefunktionals und nicht des Längenfunktionals definieren, wodurch die an der Länge beteiligte Quadratwurzel eliminiert wird. Dies ähnelt der Betrachtung der Polyakov-Aktion anstelle der Nambu-Goto-Aktion in der Stringtheorie.

Meine letzte Bemerkung ist folgende. Während eine Geodäte auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit die Länge immer lokal minimiert, minimiert sie die Länge möglicherweise nicht immer global, da ihre 2 Endpunkte fest gehalten werden. Stellen Sie sich zum Beispiel eine Kugel vor und sagen Sie, Sie beginnen am Nordpol N und reisen entlang eines Großkreises, bis Sie den Südpol S erreichen, und fahren dann ein wenig weiter auf demselben Großkreis, etwas hinter S. Das ist eine Geodäte, aber es ist nicht der kürzeste Weg zwischen den beiden Endpunkten. Tatsächlich kann man mit N beginnen und in die entgegengesetzte Richtung wie der anfängliche Pfad gehen und den Endpunkt auf einem kürzeren geodätischen Pfad erreichen.

Bearbeiten: Meine Bemerkungen gingen eher von einer Riemannschen Metrik aus, was eine euklidische Signatur bedeutet, als von einer Lorentzschen. Es gibt andere Probleme, die in der Lorentzschen Signatur auftreten, wie einige Benutzer (insbesondere Ben Crowell) zu Recht darauf hingewiesen haben.

Gegeben sei eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ( M , g ) mit Verbindung ∇ das mit der Metrik kompatibel ist g aber nicht unbedingt torsionsfrei . Lassen ∇ L C bezeichnen die Levi-Civita-Verbindung für g . Dann die geodätische Gleichung ∇ γ ˙ L C γ ˙ = 0 und die Autoparallelgleichung ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 sind nicht unbedingt gleich. Sie sind genau dann gleich, wenn der Torsionstensor vollständig antisymmetrisch ist. Siehe zB diesen Phys.SE Beitrag für Details.

Links zu Kleinert et. al.s Arbeit für später: arxiv.org/abs/hep-th/9503074 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9605028 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9709067 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9801003 ; arxiv.org/abs/physics/9801023 ← Gl. (6.5) lokale Aktion für Autoparallel. Es sieht so aus, als könnten wir genauso gut den Auto-Parallel-Eq implementieren. mit einem Lagrange-Multiplikator.

Ich verstehe deine Frage nicht wirklich, aber ich denke, das ist, was du fragst:

„Geodäten können auf zwei verschiedene Arten definiert werden: (a) Trajektorien, die ihren Tangentenvektor parallel transportieren, oder (b) Trajektorien, die die Eigenzeit entlang aller möglichen Pfade zwischen zwei Punkten maximieren. [Beachten Sie, dass die erste Definition lokal ist und die zweite ist global. Wie Ben Crowell betont, führt die unbestimmte Signatur der Metrik zu Feinheiten bei der zweiten Definition, sodass es der Einfachheit halber am einfachsten ist, nur zeitähnliche Trajektorien zu betrachten, was natürlich bedeutet, dass diese Definition nur Sinn macht, wenn die Endpunkte kausal miteinander verbunden sind Die Fälle von Leerzeichen- oder Nullpfaden sind am Ende sehr ähnlich.] Die erste Definition bezieht sich nur auf die Verbindung (nicht auf die Metrik) und die zweite Definition bezieht sich nur auf die Metrik (nicht auf die Verbindung).Für welche Beziehungen zwischen der Metrik und der Verbindung sind diese Definitionen äquivalent?"

Carroll diskutiert beide Definitionen auf pgs. 106-108 dieses GR-Lehrbuchs: „Diese beiden Konzepte stimmen genau dann überein, wenn die Verbindung die Christoffel-Verbindung ist ... Auf einer Mannigfaltigkeit mit einer Metrik sind Extremale des Längenfunktionals Kurven, die ihre Tangentenvektoren in Bezug auf parallel transportieren Christoffel-Verbindung, die dieser Metrik zugeordnet ist [Hervorhebung hinzugefügt]. Es spielt keine Rolle, ob eine andere Verbindung auf derselben Mannigfaltigkeit definiert ist.

Wie Sie sagen, wenn die Verbindung Torsion hat (oder nicht metrisch kompatibel ist), sind die beiden Konzepte nicht mehr gleichwertig. In Alternativen zu GR, die Verbindungen mit Torsion berücksichtigen, gehorchen Pfade freier Teilchen eher der ersten als der zweiten Gleichung, sodass die erste Definition im Kontext der Gravitationsphysik grundlegender ist.

Vielleicht etwas unzusammenhängend: Passen die Verbindungs-"Auswahlmöglichkeiten", die sich von der Christoffel-Verbindung unterscheiden, gut zum Äquivalenzprinzip? Ich neige dazu zu denken, dass es keine Wahl in der Verbindung gibt, wenn man dem Äquivalenzprinzip folgen muss. Dieser Standpunkt wird meiner Meinung nach durch Weinbergs Behandlung etwas gestützt. Er nimmt a priori nichts über die Torsion an und beweist (unter Verwendung des Äquivalenzprinzips), dass sich die Verbindung als die Christoffel-Verbindung herausstellt.

Referenzen: Penrose S. 294, Kapitel 14 von The Road to Reality bietet eine sehr zugängliche Erklärung des parallelen Transports unter Verwendung von Geodäten, um "kurze" Pfade zu finden, und beschreibt, wie das Problem der Pfadabhängigkeit gelöst werden kann. Er vermeidet eine rigorose Entwicklung, um sich auf die Begründung zu konzentrieren.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport Die mathematische Entwicklung für den parallelen Transport in der Riemann-Geometrie sowie andere Behandlungen zur Lösung des Problems der Abhängigkeit paralleler Pfade.

↑ Reimmann?
Geodäten: Am geradesten oder am kürzesten? Wann und warum?
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