Hängenbleiben nach Ableitung der geodätischen Gleichung

Question

Hängenbleiben nach Ableitung der geodätischen Gleichung

m4r35n357

In dem Buch „Reflections on Relativity“ von Kevin Brown gibt es ein Kapitel namens „Relatively Straight“, in dem er die geodätischen Gleichungen mit der Euler-Gleichung herleitet. Online Version

Gleich nach der zweiten Erwähnung der Euler-Gleichung (ca. 80 % nach unten) steht folgender Text: „Daher können wir die Euler-Gleichung anwenden, um sofort die Gleichungen geodätischer Pfade auf der Oberfläche mit der angegebenen Metrik anzugeben

\frac{\partial F}{\partial X^{σ}} - \frac{D}{D λ} \frac{\partial F}{\partial {\dot{X}}^{σ}}

$\frac{\partial F}{\partial x^\sigma} - \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}^\sigma}$

Für einen n-dimensionalen Raum stellt dies n Gleichungen dar, eine für jede der Koordinaten $x_1, x_2, ..., x_n$ . Vermietung $w = (\frac{ds}{dl})^2 = F^2 = g_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta$ dies kann geschrieben werden als

\frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial X^{σ}} - \frac{D}{D λ} \frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = \frac{D}{D λ} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} - \frac{\partial w}{\partial X^{σ}} - \frac{1}{2 w} \frac{D w}{D λ} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = 0

$\frac{\partial w^{1/2}}{\partial x^\sigma} - \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w^{1/2}}{\partial \dot{x}^\sigma} = \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma} - \frac{\partial w}{\partial x^\sigma} - \frac{1}{2w}\frac{dw}{d\lambda} \frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma} = 0$

Ich bekomme die Substitution von sqrt(w) für F auf der linken Seite, kann aber nicht sehen, wie er den mittleren Ausdruck erhält. Ich habe versucht, die Produkt-/Kettenregeln zu verwenden, wie es bei diesen Dingen üblich ist, aber ich kann einfach nicht sehen, was er hier tut.

Normalerweise kann ich Kevins Arbeit mit etwas Mühe folgen, aber diese hier scheint etwas kniffliger zu sein, als ich es gewohnt bin. Kann mir jemand helfen den Trick zu verstehen?

m4r35n357

Danke für die Bearbeitungen, nivag, ich suchte nach ähnlichem Latex zum Kopieren und Bearbeiten. . .

Antworten (1)

Hängenbleiben nach Ableitung der geodätischen Gleichung

Danke für die Bearbeitungen, nivag, ich suchte nach ähnlichem Latex zum Kopieren und Bearbeiten. . .

MBN · Answer 1

Es scheint richtig. Du hast

\frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial X^{σ}} = \frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{\partial w}{\partial X^{σ}}

$\frac{\partial w^{1/2}}{\partial x^\sigma}=\frac1{2\sqrt{w}}\frac{\partial w}{\partial x^\sigma}$

Ändern Sie die Reihenfolge der Ableitungen im zweiten Term

\frac{D}{D λ} \frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = \frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} (\frac{D}{D λ} w^{1 / 2}) = \frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} (\frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{D w}{D λ})

$\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w^{1/2}}{\partial \dot{x}^\sigma}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\sigma}\left(\frac{d}{d\lambda} w^{1/2}\right)=\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\sigma}\left( \frac1{2\sqrt{w}}\frac{d w}{d\lambda } \right)$

Produktregel

\frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} (\frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{D w}{D λ}) = - \frac{1}{4 w \sqrt{w}} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} \frac{D w}{D λ} + \frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} \frac{D w}{D λ}

$\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\sigma}\left( \frac1{2\sqrt{w}}\frac{d w}{d\lambda } \right)=-\frac1{4w\sqrt{w}}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma}\frac{dw}{d\lambda}+\frac1{2\sqrt{w}}\frac{\partial }{\partial \dot{x}^\sigma}\frac{dw}{d\lambda}$

Subtrahieren, gleich Null machen, multiplizieren $2\sqrt{w}$ du erhältst

\frac{\partial w}{\partial X^{σ}} + \frac{1}{2 w} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} \frac{D w}{D λ} - \frac{D}{D λ} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = 0

$\frac{\partial w}{\partial x^\sigma}+\frac1{2w}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma}\frac{d w}{d\lambda}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma}=0$

Danke für dieses MBN! Ich habe den ersten Schritt gut hinbekommen, aber wenn ich darüber nachdenke, würde ich den Rest des Weges nicht so schnell schaffen ;)

Hängenbleiben nach Ableitung der geodätischen Gleichung

m4r35n357

m4r35n357

Antworten (1)

MBN

m4r35n357

Geodätische Gleichungen über Variationsprinzip

Geodäten: Am geradesten oder am kürzesten? Wann und warum?

Geodätische Gleichung aus dem Eigenzeitintegral

Woher wissen wir, dass die Geodäte ein Minimum ist?

Von der Euler-Lagrange-Gleichung zur nicht-affinen geodätischen Gleichung

Geodäten aus Variationsprinzip bezüglich Koordinaten?

Warum maximiert eine zeitähnliche Geodäte die Pfadlänge?

Null geodätische Gleichung

Warum zwei verschiedene Lagrangeoperatoren zur Ableitung geodätischer Gleichungen?

Interpretation normaler Koordinaten